calculo

Matriz Inversa.
El producto de una matriz por su inversa es igual a la matriz identidad.
A · A−1  = A−1 · A = I
Propiedades
 1.  (A · B)−1  = B−1 · A−1
 2. (A−1)−1  = A
 3.  (k · A)−1  =k−1 · A−1
 4.  (At)−1  = (A−1)t
Cálculo por el método de Gauss
Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A−1, seguiremos los siguientes pasos: 1.  Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.
Consideremos una matriz 3x3 arbitraria:

La ampliamos con la matrizidentidad de orden 3.

 2  Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derechoserá la matriz inversa: A−1.


F2 = F2 − F1

F3 = F3 + F2

F2 = F2 − F3

F1 = F1 + F2

F2 = (−1) F2

La matriz inversa es:


Matriz traspuesta.
Es la matriz que obtenemos de cambiar lasfilas por las columnas. La traspuesta de A la representamos por AT.
Ejemplo:


Aplicación a las ecuaciones lineales.




Reducción de matrices por determinantes.

Término de unamatriz es el producto obtenido al tomar un único elemento por fila y columna.
El signo de un término se obtiene al comprobar de qué clase es la permutación en el número de las columnas de los términoselegidos (las filas se pueden contar ordenadamente). Si la permutación es par, el término es positivo. Si es impar, será negativo.
Ej: Si en una matriz de dimensión 4x4 tomamos el término (a11, a23,a32, a44), como sus elementos están tomados por orden de filas, sólo interesa ver la ordenación de las columnas: 1324, una permutación impar. El término tiene, pues, signo negativo.
Determinante de unamatriz cuadrada es la suma de todos sus posibles términos. La mitad de ellos serán positivos, y la otra mitad, negativos.
 Cálculo de determinantes:
Un determinante se escribe colocando...