calculo

Valor absoluto.
Si a es un número real entonces su valor absoluto es:

|a|={█( a,si &a ≥ 0@-a,si &a < 0)┤
En la recta numérica, |a| es la distancia entre el origen y el numero a. En general, la distancia entre dos números a y b es b – a si a < b, o bien a – b si b < a. En términos del valor absoluto la distancia entre a y b es |b-a|. Véase la ¨figura 1.3. Obsérvese que |b-a|=|a-b|.
UNIDAD 2: LÍMITES DE FUNCIONES
2.1 notación intuitiva de limites
2.2 teoremas acerca de limites
2.3 limites en los que interviene infinito
2.4 continuidad
2.5 definición de limites
2.5.1 definición t-& de lim┬(x→a)⁡〖f(x)=L〗
2.5.2 definiciones de lim┬(x→a)⁡〖f(x)=∞ 〗 y lim┬(x→∞)⁡〖f(x)=L〗

Dos de los conceptos más importantes en el estudio del cálculo son las nociones de funcionesy de límites de una función. En este capítulo se trata especialmente de determinar si los valores f(x) de una función f tiende a un número fijo L cuando x tiende a un número a. usando el símbolo → en lugar de la expresión “tiende a” preguntamos:
¿f(x)→cuando x→a?
















2.1 NOCION INTUITIVA DE LÍMITES.
Límites de una función cuando x tiende a un número.
Considerela función:
f(x)=(16-x^2)/(4+x)
Cuyo dominio es el conjunto de todos los números reales excepto -4. Aunque f (-4) no es definido, f(x) puede calcularse para cualquier valor de x cercano a-4. La tabla de la figura 2.1 muestra que cuando x se acerca a-4 por la izquierda o por la derecha, los valores funcionales f(x) están acercándose a 8; esto es, cuando x está próximo a -4, f(x) está próximo a8.entonces 8,es el límite de f cuando x tiende a-4 y se escribe.
f(x)→8 cuando x→-4 o bien lim┬(x→-4)⁡〖(16-x^2)/(4+x)〗=8.
x F(x)
-4.1 8.1
-4.01 8.01
-4.001 8.001
-3.9 7.9
-3.99 7.99
-3.999 7.999



Figura 2.1
Para x ≠-4 se puede simplificar f mediante cancelación:
f(x)=(16-x^2)/(4+x)=((4+x)(4-x))/(4+x)=4-x
Como se observa en la figura 2.1, la gráfica de f es esencialmente la dey=4-x, excepto que la gráfica de f tiene un hueco en el punto correspondiente a x=-4. Cuando x se aproxima cada vez más a -4, lo cual e representa con las dos puntas sobre el eje x, simultáneamente las dos puntas de flecha sobre el eje y se aproxima cada vez al número 8.
DEFINICION INTUITIVA
La notación de que f(X) tiende al número de L cuando x tiende al número a se define, en general, de lamanera siguiente:
Si f(x) puede aproximarse arbitrariamente a un número finito L, tomando a x suficientemente cercano pero distinto de un número a, tanto por el lado izquierdo como por derecho de a, entonces lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗=L
Si usara la notación x→a^- para denotar que x tiende a por la izquierda y x→a^+ para expresar que x tiende a a por la derecha. De este modo, si los limites unilateraleslim┬(x→a^- )⁡〖f(x) y lim┬(x→a^(`+) )⁡〖f(x)〗 〗tienen un valor común L.
lim┬(x→a^- )⁡〖f(x)=lim┬(x→a^+ )⁡〖f(x)=L〗 〗
Se dice entonces que lim┬(x→a)⁡〖f(X)〗 existe y se escribe.
lim┬(x→a)⁡〖f(X)〗=L
Usualmente se hará referencia al número L como el límite de f en a. sin embargo se debe observar que:
La existencia del límite de una función f en a no depende de si f esta realmente definida en a, sinosolamente de si f está definida para x cerca de a.
EJEMPLO 1.
La figura 2.2 muestra la gráfica de la función f(X)=〖-x〗^2+2x+2. Como se observa en la gráfica y en la tabla adjunta, parece razonable que.
lim┬(x→4^- )⁡〖f(X)=-6 y lim┬(x→4^+ )⁡〖f(X)=-6〗 〗
Y en consecuencia lim┬(x→4)⁡〖f(X)=-6〗
X F(X)
3.9 -5.41000
3.99 -5.94010
3.999 -5.99400
4.1 -6.61000
4.01 -6.06010
4.001-6.00600

Se observa que la función dada en el ejemplo 1este definida en x=4, pero en ningún momento se sustituye x=4 en la función para encontrar el valor de lim┬(x→4)⁡〖f(X)〗. En el ejemplo siguiente, es claro que lim┬(x→2)⁡〖f(X)〗 existe pero f (2) no está definido.
Ejemplo 2
En la figura 2.3 se representa la gráfica de la función definida por sección.
f(x)={█(x^2 x2)┤



De la...