calculo

UNIDAD 3
DERIVADA DE FUNCIONES ALGEBRAICAS
Propósitos: Continuar el estudio del concepto de derivada a través del manejo
de su representación algebraica buscando que el alumno reconozca a las
reglas de derivadas como un camino más eficaz de obtener la derivada de una
función.
Aprendizajes. Al finalizar esta unidad el alumno:
• Obtiene la derivada de una función polinomial de 1°, 2do ó 3ergrado usando la
definición
f ( x ) − f (a )
f '( x ) = lím
x →a
x −a
• Identifica el patrón de comportamiento de las derivadas obtenidas con el
límite del cociente.
• Calcula la derivada de funciones algebraicas usando las reglas de derivación.
• Reconoce la jerarquía de las operaciones involucradas en la regla de
correspondencia de una función para aplicar correctamente las reglas dederivación.
• Identifica las relaciones existentes entre la gráfica de una función y la gráfica
de su derivada.
• Obtiene la ecuación de la recta tangente en un punto de la gráfica de una
función.
• Obtiene la velocidad instantánea como la derivada de la función posición y la
aceleración como la derivada de la velocidad.
• Da significado a la derivada de una función en el contexto de unproblema.
Introducción.
En la primera unidad aprendimos a explorar y resolver diversos problemas que
nos permitieron acercarnos a los procesos infinitos, este acercamiento nos
permitió introducirnos al concepto de límite, primero de una sucesión y después
de una función, en general, en un punto dado. En la segunda unidad
analizamos a la variación y a la razón de cambio en problemas cuyos modelosmatemáticos fueron funciones polinomiales de primer, segundo y tercer grado,
esto lo hicimos con la ayuda de la noción de límite.
En esta sección seguiremos nuestro estudio de la variación y el cambio para
funciones algebraicas, nuestro propósito fundamental es apropiarnos de las
reglas de derivación y reconocerlas como un camino más eficaz para obtener la
derivada de una función.
En launidad anterior calculaste algunos límites, en las actividades siguientes
se te pide recuerdes algunos de ellos y sin aproximar los valores conjetures los
resultados de otros límites.
Propiedades de los límites, resultados iniciales
Hagamos algunos recordatorios de los límites de funciones. Iniciaremos estos
cuando la función es constante, y posteriormente cuando la función es
polinomial decualquier grado.

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Actividad 1:
Te recordamos los límites siguientes:
• lím c = c
x →a

• lím x = a
x →a

• lím x 2 = a 2
x →a

1. Con base en estos resultados, conjetura el valor de:
a) lím x 3
b) lím x 4
c) lím x 5
x →a

x →a

d) lím x12

x →a

x →a

2. Ahora, si n representa a un número entero positivo, conjetura a qué será
igual el lím x n .
x →a

Propiedadesde los límites.
Los límites tienen varias propiedades muy importantes, algunas de ellas son:
• El límite de una suma es la suma de los límites
(1)
lím(f ( x ) + g ( x )) = lím f ( x ) + lím g ( x )
x →a

x →a

x →a

• El límite de un producto es el producto de los límites

(

)(

lím f ( x )g ( x ) = lím f ( x ) lím g ( x )
x →a

x →a

x →a

)

(2)

• El límite de uncociente es el cociente de los límites
⎛ f ( x ) ⎞ lím f ( x )
x →a
lím ⎜
, lím g ( x ) ≠ 0
⎟=
x →a g ( x )
lím g ( x ) x →a
⎝
⎠

(3)

x →a

Estas propiedades no te las justificaremos porque para ello hace falta contar
con la definición de límite de una función. Lo que sí podemos hacer es tomar
estos límites como base para encontrar otras propiedades a partir de ellas. Porejemplo:
• El límite de una constante por una función es la constante por el límite
de la función.
(4)
lím cg ( x ) = c lím g ( x )
x →a

x →a

Esta propiedad se justifica a partir de (2) y de que lím c = c :

(

)(

)

x →a

lím cg ( x ) = lím c lím g ( x ) = c lím g ( x )
x →a

x →a

x →a

x →a

El resultado anterior, nos permite “extraer” del límite a una constante, como...