Calculo

División de Estudios de Postgrado Universidad del Mar Guía de estudio para examen de admisión

Esta guía está dirigida a quienes sustentarán el Examen General de conocimientos para el ingreso al curso propedéutico de la Maestría en Ciencias Ambientales de la UMAR y tiene como propósito dar información que apoye la preparación correspondiente.

Matemáticas Algebra Lineal CONTENIDOS OBJETIVOSDefinir vectores unitarios Cartesianos y N 1. dimensionales. Realizar operaciones con vectores 2. 3. 4. REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA Álgebra Lineal, George Nakkos, Thomson Corporation, 2000. Álgebra Lineal, Stanley Grossman, McGraw-Hill Interamericana, 1990. Álgebra Lineal, Jesús Rojo, McGrawHill Interamericana, 1990. Introduction to Linear Algebra, Serge Lang, Addisson-Wesley Iberoamericana,Elementary Linear Algebra, Anton Howard, 8th. Edition, John Wiley and Sons, Inc., 2000. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Carl D. Meyer, Society for Industrial, 2000. Numerical Linear Algebra, Lloyd N. Trefethen and III, David Bau, Cambridge University Press, 1997.

1. Vectores

2. Determinantes y Matrices

Explicar lo que representa una matriz y un determinante. Definir el rango de unamatriz y el orden de un determinante.

5. 3. Soluciones de ecuaciones algebraicas Resolver sistemas de 2 y 3 ecuaciones lineales simultáneas por medio de la regla de Cramer.

6.

4. Matrices

Realizar operaciones con matrices. 7.

5. Matrices adjunta , Inversa y transpuesta

Definir los conceptos de matriz, matriz adjunta, matriz inversa y matriz transpuesta

6. Solución de ecuacioneslineales simultaneas

Calcular la solución de un sistema de ecuaciones lineales simultáneas con la ayuda de la matriz inversa

7. Valores Calcular los valores característicos , vectores característicos, característicos y formas cuadráticas vectores característicos y formas cuadrática

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Ejemplos 1. Dados los vectores , evaluélas siguientes operaciones, pero t = ( 5,0,1) u = ( 2, −1,3 ) w = ( −1, −2,5 ) % % % también realice su representación grafica. a. 4 u + 5 ( w − 2u )  % % %  b. t  w × 2u ( ) % % % Dado el siguiente conjunto de vectores determine t = 2,5 u = 10, 4 ( ) ( ) % % a. La norma de cada uno de los vectores b. El ángulo que forman entre ellos y c. Son ortogonales el conjunto de vectores Dadas lassiguientes matrices  6 0 −1 6 5 3   2 0 3  B =  5 2 −1 A=  %   %   −4 2 1   4 −1 9      a. Calcule AB y BA . b. Calcule % % % % . det ( AB ) y det ( BA ) , son iguales los dos determiantes ? %% %% c. Calcule AB −1 por medio de sus cofactores, la adjunta y la transpuesta de la adjunta de los ( ) %% cofactores. Dada las siguiente matriz 5 7 0 0   2 −3 0 0   A=  % 0 0 1 5   0 0 2 2  a. A lo más cual es el rango  r ( A) de la matriz A .  %  % b. Cuantos vectores renglón son linealmente independientes. c. d.

2.

3.

4.

5.

Cuantos vectores columna son linealmente dependientes. Cual es el rango  r ( A) de la matriz Dadas las siguientes matrices A .  %  % Considerando el problema Ax = c en el cual las incógnitas están representadas por el vectorcolumna x , %% % % se dice que podemos encontrar dichas incógnitas si x = A−1c siempre y cuando el det A ≠ 0 encuentre ( ) % % % % dicha solución si: . 1 4   x1  5 A=  x= c= % 1 2  %  x2  % 1      Para la matriz , evalúe lo siguiente. −3 0 −2  1  3 −12 −2 −6   A=  %  −2 10 2 5   1 3  −1 6 ¿Cuál es su determinante de la matriz A ? ¿Es invertible? % Si es invertible,encuéntrela por el método de eliminación de Gauss.

6.

a. b. c.

7.

Compruebe que: AA−1 = I . %% % Para el siguiente sistema de ecuaciones 1 2 −1 x evalúe.    1  2   2 3 5  x  =  5     2     −1 −3 8   x3  −1    

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a.

8.

b. c. Encuentre la solución por el método de eliminación de Gauss. ....