calculo

MÓDULO

CÁLCULO DIFERENCIAL

Dy
= f '( x ) = D x ( y )
Dx

Jorge Eliécer Rondon Duran

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD –
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
UNIDAD DE CIENCIAS BÁSICAS
Bogotá D. C., 2010

COMITÉ DIRECTIVO
Jaime Alberto Leal Afanador
Rector
Gloria Herrera
Vicerrectora Académica y de Investigación
Roberto Salazar RamosVicerrector de Medios y Mediaciones Pedagógicas
Maribel Córdoba Guerrero
Secretaria General
Leonardo Urrego
Director de Planeación

MÓDULO
CURSO CÁLCULO DIFERENCIAL
SEGUNDA EDICIÓN

© opyright
Universidad Nacional Abierta y a Distancia
ISBN

2010
Vicerrector de Medios y Mediaciones Pedagógicas

2

TABLA DE CONTENIDO
UNIDAD UNO: Análisis de Sucesiones y Progresiones
CAPÍTULO UNO: LASSUCESIONES.
Generalidades
Sucesiones Monótonas
Sucesiones Acotadas
Sucesiones Convergentes
Límite de una Sucesión
Sucesiones Divergentes
Ejercicios
CAPÍTULO DOS: LAS PROGRESIONES
Progresiones Aritméticas
Progresiones Geométricas
Ejercicios
UNIDAD DOS: Análisis de Límites y Continuidad
CAPÍTULO TRES: GENERALIDADES DE LÍMITES
Conceptualización Intuitiva de Límite
ConceptualizaciónBásica de Límite
Conceptualización Formal de Límite
Propiedades de Límites
Evaluar un Límite
Ejercicios

5
6
9
11
13
18
19
20
22
25
29
30
31
31
32
34
35
37

CAPÍTULO CUATRO: LÍMITES DE FUNCIONES Y ASÍNTOTAS
Límites al infinito
Límites Infinitos
Formas Indeterminadas
Formas NO Indeterminadas
Límite de Funciones Trigonométricas
Límites Unilaterales
Límite de una FunciónAsíntotas
Ejercicios

38
42
44
48
48
51
54
54
57

CAPÍTULO CINCO: CONTINUIDAD
Continuidad en un Punto
Continuidad en un Intervalo
Discontinuidad
Ejercicios

59
60
64
67

UNIDAD TRES: Análisis de las Derivadas y sus Aplicaciones
CAPÍTULO SEIS: FUNDAMENTACIÓN SOBRE LAS DERIVADAS
Principio Geométrico sobre la Derivada
Principio Físico sobre la Derivada
IncrementosDefinición Formal de la Derivada

68
69
72
74
75

6

22

31

38

59

69

3

Derivadas Básicas
Ejercicios

79
85

CAPÍTULO SIETE: DERIVADAS DE FUINCIONES ALGEBRAICAS
Derivada de Suma y Resta de Funciones
87
Derivada de Producto de Funciones
89
Derivada de Cociente de Funciones
91
Derivada de la Función Compuesta
94
Derivada de la Función Implícita
98
Ejercicios101

87

CAPÍTULO OCHO: DERIVADA DE FUNCIONES TRASCENDENTALES
Derivada De la Función Exponencial y Función Logarítmica
102
Derivada de las Funciones Trigonométricas
108
Derivada de las Funciones Hiperbólicas
112
Ejercicios
116

102

CAPÍTULO NUEVE: DERIVADA ORDEN SUPERIOR Y FUNCIONES INVERSAS 117
Derivada de Orden Superior
117
Derivada de Funciones Trigonométricas Inversas
120Derivada de Funciones Hiperbólicas Inversas
124
Ejercicios
126
CAPÍTULO DIEZ. TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL 127
Teorema de Rolle
127
Teorema del Valor Medio
129
Ejercicios
132
CAPÍTULO ONCE: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
Razones de Cambio Relacionadas
Formas Indeterminadas
Máximos y Mínimos de una Función
Optimización
Análisis de Graficas
Derivadas en la FísicaDerivadas en las Ciencias Económicas
Derivadas en la Estadística
Ejercicios
Bibliografía

133
136
140
146
152
158
161
167
176

133

180

4

UNIDAD UNO
ANÁLISIS DE SUCESIONES Y PROGRESIONES

5

CAPÍTULO UNO: LAS SUCESIONES:

S =

Lección No 1: Generalidades:

{ n }n ≥ a
U

En muchos contextos hacemos referencia a las sucesiones, El incremento bacteriano a travésdel
tiempo, el aumento de la tasa de interés a través del tiempo, otros. Una sucesión esta referido a
secuencia, luego se puede decir que una sucesión es un conjunto de valores que presenta una
secuencia con una característica determinada.

Definición Formal: Una sucesión U n es una función en la cual el dominio
(n) son los números naturales y la imagen (un) los números reales.

f ( x) :...