Calculo

´ ´ UNIVERSIDAD CATOLICA ANDRES BELLO FACULTAD DE INGENIER´ IA ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICA ´ CURSO: CALCULO IV (CIV-IND-INF)

´ GU´ PRACTICA No 1 IA
1. Construya la matriz A = (aij ) ∈ R2×4 que satisface la condici´n aij = i − 2j, para i = 1, 2 o y j = 1, 2, 3, 4. 2. Dadas las matrices  3 1 1 2 −3 A = , B= 2 4  4 0 −2 −1 5   2 3 1 2 3  3 −4 5 , D = C = −1 −2 1 −1 −2   1 0 −3 2 −3 5, F = E =  −2 1 4 1 3 4 2  De ser posible, calcule: a) AB y BA b) CB + D c) AB + DF t d ) BA − 3E t e) A(BD) f ) B t (E + 2C)  1 −2 3 3. Hallar el valor de f (A), si f (x) = 3x2 − 2x + 5 y A =  2 −4 1 . 3 −5 2 4. Halle todas las matrices que conmutan con la matriz A = 1 2 . 3 4 

5. Sean A ∈ Rm×n y B ∈ Rp×q . Determine las condiciones m´ ınimas que deben satisfacer estas matrices para que ABy BA sean del mismo orden. Explique. 6. Si B es una matriz de orden 2 × 3 tal que: −2 −1 7 3 5 0 Determine F2 (B). +B = 0 0 0 0 0 0

1

7. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones matriciales:   1 1 1 1    X +Y =  X − 2Y =   0 1 −1 1 (a) (b) 1 1 0 1    2X + 3Y =  X +Y =   0 1 1 2 8. Indique cu´les de los siguientes enunciados son verdaderos y cu´les son falsos. Justifiquea a sus respuestas. a) Si A matriz diagonal, entonces es escalar. b) Existen matrices A ∈ Rn×n no nulas que son sim´tricas y antisim´tricas. e e c) Si A es una matriz diagonal, entonces es triangular superior e inferior. d ) Si A es una matriz cuadrada de orden n y A2 = On , entonces A = On . e) Si A y B son matrices del mismo orden, entonces siempre es cierto que AB = BA. f ) Si A y B sonmatrices del mismo orden, entonces siempre es cierto que (A + B)2 = A2 + 2AB + B 2 . g) Si A y B son matrices tales que A + B y AB existen, entonces A y B son matrices cuadradas del mismo orden. h) Si A y B son matrices tales que AB est´ definida (existe), entonces BA est´ definida. a a i) Si A y B son matrices tales que AB es 2 × 2, entonces BA est´ definida. a   x 6 1 2 x y B =  y . Si AB = ,determine x e y. 9. Sean A = 8 3 −1 2 1 10. Demuestre que si A ∈ Rn×n , entonces a) A + At es sim´trica. e b) A − At es antisim´trica. e 11. Calcule: 1 a a) 0 1 12. Calcule
n k=1 n n n

,a∈R Ak si: (a) A =

b)

a 1 0 1 2 1 0 1

,a∈R

c) 1 2 . 0 1

cos θ −senθ senθ cos θ

,(b) A =

13. Una ra´ cuadrada de una matriz A de orden 2 × 2 es una matriz B tal que B 2 = A. ız Encuentre todas lasra´ cuadradas de ıces 1 0 0 1 a) b) I2 c) 0 0 0 0 14. Determine si cada una de las siguientes matrices cuadradas es invertible (no singular). En caso de que una matriz sea invertible, halle su inversa.   2 −1 4 2 3 1 0 3 −1 0 5  a) b) c) d)  −1 −1 1 2 0 −9 3 −3 1 1 2

3 0 0 e)  0 −1 0  0 0 2 15. Si se sabe que A−1 =





 f) 

−1 2 −3 2 1 0  4 −2 5 y B −1 = 3 4 −2 −3



1 0 g)   0 0



0 0 0 1

0 1 0 0

 0 0   1  0

3 2 1 3

2 5 , determine (AB)−1 . 3 −2

16. Demuestre que la matriz que sea su propia inversa.

es su propia inversa. Halle otra matriz cuadrada 

 1 1 0 17. Halle la inversa de la matriz An , para n ∈ N, donde A =  0 1 1 . 0 0 1 18. Resuelva las siguientes ecuaciones matriciales: a) b)  a b c d 3 1 2 1 2 −1 4 2 = 1 3 62 = −3 2 7 −1 3 −2 3 3 6 2  0 7  8  3 2  5

1  3 c) 2  d) X 

a b 1 3 c d 1 2   1 2 −3  X =  10 2 −4 10 −1 0   1 1 −1 1 = 4 2 1 0 1 −1 1 1

19. Calcule los siguientes determinantes: a) −2 7 5 9 2 0 0 1 0 1 0 2 3 4 1 3 1 2 5 0 b) 1 0 0 3 2 −4 4 1 3 1 −1 2 3 c) 2 2 1 5 −2 0 4 4 2 6 6 5 x a a a an an an . . . a x a a a a x a a a a x 1 1 1 . . . a 0 0 b a 0 , donde a, b, c, d ∈ Rc d a a 0 0 0 0 i) 0 0 0 0 e 0 1 1 1 3 3 5 . . . 0 b 0 0 0 1 0 a b ··· ··· ··· .. . 0 0 0 d 0 1 a 0 c 0 0 c 0 0 1 b c 0 n n n . . .

d)

e)

f)

g)

0 a b c −a 0 d e −b −d 0 f −c −e −f 0 1 a1 a2 1 a1 + b1 a2 1 a1 a2 + b2 . . . . . . . . . 1 a1 a2

h)

j)

··· ··· ··· .. .

k)

2 3 2 . . .

· · · an + bn 3

1 2 3 · · · 2n − 1

l)

1 x1 x2 1 x x2 1 x1 x . . . . . . ....