Calculo

EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA ANALITICA DEL ESPACIO 1. Determinar la posición relativa de las siguientes parejas de planos:
a) b) c) d) a)

π : 2x + 3 y − z + 8 = 0 π : 3 x + 2 y − 6z − 7 = 0 π : 3 x − y + z = −1 π : 3x − y + 5 z + 1 = 0
Discutamos el sistema:

π' : −4x − 6y + 2z − 16 = 0 π' : 4x − y + z + 2 = 0 π' : 6x − 2y + 2z = 7 π´: 4x + y + 7z + 12 = 0

2 x + 3 y − z = −8 ⎫ ⎬ −4 x − 6 y + 2z = 16⎭
la matriz de coeficientes y la ampliada son, respectivamente:

3 − 1⎞ ⎛ 2 A=⎜ ⎜− 4 − 6 2 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ 2 3 = −12 + 12 = 0 −4 −6

3 − 1 − 8⎞ ⎛ 2 B=⎜ ⎜ − 4 − 6 2 16 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ 2 −1 =4−4=0 −4 2 3 −1 = 6−6 = 0 −6 2

como todos los menores de segundo orden que se pueden extraer de la matriz A son nulos ya que:

se tiene que r(A)=r(B)=1, el sistema es compatible e indeterminado condos grados de indeterminación. Los dos son coincidentes. b) Ahora el sistema a estudiar es:

3x + 2 y − 6z = 7⎫ ⎬ 4 x − y + z = −2 ⎭
En la matriz A de los coeficientes, el menor:

3 2 = −3 − 8 = −11 ≠ 0 4 −1
por tanto, r(A)=r(B)=2, el sistema es compatible e indeterminado con un grado de indeterminación. Los planos se cortan en una recta cuyas ecuaciones implícitas son las dadas por elsistema de ecuaciones. c) En el sistema:

3 x − y + z = −1 ⎫ ⎬ 6x − 2 y + 2z = 7⎭
Los tres menores de segundo orden extraídos de la matriz de los coeficientes son nulos, en efecto:

3 −1 = −6 + 6 = 0 6 −2

3 1 = 6−6 = 0 6 2

−1 1 = −2 + 2 = 0 −2 2

por tanto, r(A)=1. Pero el ampliado Los planos son paralelos.

3 −1 = 21 + 6 = 27 ≠ 0 ⇒ r (B) = 2 6 7 El sistema es incompatible.

d)

Elsistema es:

3 x − y + 5 z = −1 ⎫ ⎬ 4 x + y + 7z = −12⎭
Como el menor:

3 −1 =3+4 =7 ≠ 0 4 1
se tiene que r(A)=r(B)=2, el sistema es compatible e indeterminado con un grado de indeterminación. Los planos se cortan en una recta cuyas ecuaciones implícitas vienen dadas por el sistema de ecuaciones.

2. Dado el plano π : 3 x − 5 y + z − 2 = 0 , determinar la ecuación de un plano π' , paraleloa π que contenga al punto A(-3, 2, 4).
Un vector normal al plano también normal a

π

π' , por tanto, éste será de la forma:

es

r v(3,−5,1) ,

como

π'

ha de ser paralelo a

π,

el vector anterior será

π' : 3 x − 5 y + z + D = 0
donde nos falta determinar D, cosa que haremos teniendo en cuenta que el punto A ha de satisfacer la ecuación de este plano por estar contenidoen él, es decir:

3 ⋅ (−3) − 5 ⋅ 2 + 4 + D = 0 ⇒ D = 15
siendo, pues

π' : 3 x − 5 y + z + 15 = 0

el plano pedido.

3. Determinar la posición relativa de los planos:

⎧x = 5 − 3t + 2s ⎪ π : ⎨ y = 6 + 2t − s ⎪z = 7 − t + 5 s ⎩

⎧x = 2 + 7µ ⎪ π' : ⎨ y = 6 + λ − 3µ ⎪z = −5 + 13λ + 24µ ⎩

Transformemos ambos planos a la forma implícita, en el primero tenemos que:

x−5 −3 2 y − 6 2 −1 = 0 ⇒ 10(x − 5) + 3(z − 7) − 2( y − 6) − 4(z − 7) − (x − 5) + 15( y − 6) = 0 z −7 −1 5 ⇒ 10 x − 50 + 3z − 21 − 2 y + 12 − 4 z + 28 − x + 5 + 15 y − 90 = 0 ⇒ ⇒ π : 9x + 13 y − z − 116 = 0
En cuanto al segundo:

x−2 y−6

0 1

7 − 3 = 0 ⇒ 24(x − 2) + 91( y − 6) − 7(z + 5) + 39(x − 2) = 0 ⇒ 24

z + 5 13

⇒ 24 x − 48 + 91y − 546 − 7z − 35 + 39x − 78 = 0 ⇒ π' : 63x + 91y − 7z − 707 = 0Discutamos ahora el sistema de ecuaciones:

9x + 13 y − z = 116 ⎫ ⎬ 63x + 91y − 7z = 707⎭
Como todos los menores de segundo orden que pueden extraerse de la matriz de los coeficientes son nulos

como es fácil comprobar, r(A)=1 pero el ampliado incompatible. Los planos son paralelos.

9 116 = −945 ≠ 0 ⇒ r (B) = 2 63 707 y

el sistema es

4. Determinar la posición relativa de los planos:α:x+y−z+2 =0 β : 2x − y + 3z + 5 = 0 γ : 3x + 2z + 7 = 0
Estudiemos el sistema de ecuaciones que forman los tres. El determinante de la matriz de los coeficientes es:

1 3

1 0

−1 3 = −2 + 9 − 3 − 4 = 0 ⇒ r ( A ) ≤ 2 2

2 −1

Pero el menor:

1 1 = −1 − 2 = −3 ≠ 0 2 −1
entonces r(A)=2 Orlemos este menor con los términos independientes:

1 3

1 0

−2 −7

2 − 1 − 5 = 7 − 15 −...