Calculo

Notas de C´lculo Vectorial
a
Jos´ Manuel Albornoz
e
Universidad de Los Andes
Escuela de Ingenier´ El´ctrica
ıa e

´
Indice general
Introducci´n
o

I

1. Sistemas de Coordenadas

1

1.1. El Sistema Curvil´
ıneo Generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2. Sistemas de Coordenadas de Uso Com´n . . . . . . . . . . . . . . . .
u

6

1.2.1. Sistema deCoordenadas Cartesianas . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.2. Sistema de Coordenadas Cil´
ındricas . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.3. Sistema de Coordenadas Esf´ricas . . . . . . . . . . . . . . . .
e

10

1.3. Propiedades de los Sistemas de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . .

12

1.4. Cambios de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.5. ElVector de Posici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

19

1.6. Operaciones Vectoriales B´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a

22

2. Campos Escalares y Vectoriales

26

2.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.2. Campos Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

262.3. Campos Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

3. Integrales de L´
ınea, Superficie y Volumen

35

3.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

3.2. Elementos de Longitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

3.3. Elementos de Superficie y Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

2

3

3.4. Integrales de L´
ınea y de Circulaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

42

3.5. Flujo de un Campo Vectorial

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

3.6. Integrales de Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

4. Operadores Diferenciales Vectoriales

49

4.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .

49

4.2. Derivada Direccional y Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

4.2.1. Expresi´n del Gradiente en varios Sistemas de Coordenadas .
o

53

4.2.2. Propiedades del Gradiente de un Campo Escalar . . . . . . . .

54

4.3. El Operador Divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

4.3.1. Teorema de Gauss . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .

58

4.4. El Operador Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

4.4.1. Propiedades del Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

4.4.2. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

4.5. El Operador Laplaciana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

4.6. IdentidadesVectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

Bibliograf´
ıa

71

4

Introducci´n
o
En el Cap´
ıtulo I de ‘Engineering Electromagnetics’, el Profesor William Hayt Jr.
afirma: “El an´lisis vectorial es un sistema de abreviaturas matem´ticas. Tiene ala
a
gunos nuevos s´
ımbolos, algunas nuevas reglas, alguna que otra dificultad inesperada
...demandaconcentraci´n, atenci´n y pr´ctica ...el tiempo invertido en su estudio
o
o
a
producir´ un sorprendente dividendo”. Poniendo en pr´ctica la sugesti´n de tan disa
a
o
tinguido autor, a lo largo del ejercicio de la docencia he procurado convencer a los
estudiantes de Teor´ Electromagn´tica de los beneficios de dicha inversi´n. Tradiıa
e
o
cionalmente, los profesores que trabajamos en el curso deCampos Electromagn´ticos
e
hemos dedicado parte del tiempo del que disponemos a lo largo del semestre para
realizar un repaso del c´lculo vectorial, indispensable para el aprovechamiento efectia
vo de la asignatura. Esto implica un esfuerzo extra por parte del estudiante, ya que
necesitar´ desempolvar las matem´ticas cursadas a lo largo del Ciclo B´sico de la
a
a
a
carrera, teniendo que...