calculo

Teorema del valor medio
En cálculo diferencial, el teorema de valor medio (de Lagrange), teorema de los incrementos finitos, teorema de Bonnet-Lagrange o teoría del punto medio es una propiedad delas funciones derivables en un intervalo. Algunos matemáticos consideran que este teorema es el más importante de cálculo (ver también el teorema fundamental del cálculo integral). El teorema no seusa para resolver problemas matemáticos; más bien, se usa normalmente para demostrar otros teoremas. El teorema de valor medio puede usarse para demostrar el teorema de Taylor ya que es un casoespecial.
Enunciado para una variable
Para una función que cumpla la hipótesis de ser definida y continua [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b) entonces existe al menos algún punto c en elintervalo (a, b) en que la pendiente de la curva es igual que la pendiente media de la curva en el intervalo cerrado [a, b].
En esencia el teorema dice que dada cualquier función f continua en elintervalo [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b) entonces existe al menos algún punto c en el intervalo (a, b) tal que la tangente a la curva en c es paralela a la recta secante que unelos puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Es decir:

Este teorema lo formuló Lagrange.
El teorema del valor medio de Lagrange de hecho es una generalización del teorema de Rolle que dice que si una funciónes definida y continua [a, b], diferenciable en el intervalo abierto (a, b), y toma valores iguales en los extremos del intervalo – en otras palabras, f(a) = f(b) – entonces existe al menos algúnpunto c en el intervalo (a, b) tal que la tangente a la curva en c es horizontal, es decir f'(c) = 0.
Demostración[editar]
Primero se consideran dos puntos  y  pertenecientes al gráfico de lafunción. La ecuación de la recta que pasa por estos dos puntos es:

Se define una función auxiliar:

Puesto que f es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b), lo mismo se puede decir de g....