calculo

.

M´dulo 4
o

Funciones
Gu´ de Ejercicios
ıa

´
Indice
Unidad I.

Concepto de funci´n, dominio y recorrido
o

Ejercicios Resueltos ............................................................................................ p´g. 02
a
Ejercicios Propuestos .......................................................................................... p´g. 06
a

Unidad II.Gr´fico de funciones
a

Ejercicios Resueltos ............................................................................................ p´g. 08
a
Ejercicios Propuestos .......................................................................................... p´g. 16
a

Unidad III.

Funciones lineales y cuadr´ticas
a

Ejercicios Resueltos............................................................................................ p´g. 18
a
Ejercicios Propuestos .......................................................................................... p´g. 24
a

1

Unidad I.

Concepto de funci´n, dominio y recorrido
o

Ejercicios Resueltos
1. Considerando el conjunto A = {1, 2, 3}, el conjunto B = {0, 4, 6, 8, 10, 12} y la relaci´n
o
de dependencia, o correspondencia,entre A y B que “asigna a cada elemento su cu´drua
ple”. Decida si esta relaci´n es una funci´n de A en B y determine su dominio y recorrido.
o
o
Soluci´n
o
A los elemento 1,2 y 3 del conjunto A, les corresponden, respectivamente, los elementos
4, 8 y 12 del conjunto B. Como a cada elemento de A le corresponde un unico elemento
´
de B, la relaci´n de dependencia es una funci´n de A en B.o
o
Dominio= {1, 2, 3} = A

y

Recorrido= {4, 8, 12}

2. Sean A = {−4, −1, 0, 4, 9}, B = {−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4} y la relaci´n que asigna a
o
cada elemento de A el resultado de extraer su raiz cuadrada. Determine si esta relaci´n
o
es funci´n de A en B.
o
Soluci´n
o
En este caso, al elemento 0 de A le corresponde el elemento 0 de B; al elemento 4 de A,
el elemento 2 de B;al elemento 9 de A, el elemento 3 de B; a −4 y −1 de A no les corresponden elementos de B. Por lo tanto existen elementos de A que no se corresponden
con un elemento de B. Luego, esta relaci´n entre elementos de A y B no es una funci´n
o
o
de A en B.
3. Dada la relaci´n h definida de A ⊂ R en R por: x →
o

√

x + 2, determine su dominio.

Soluci´n
o
Buscamos el conjunto A, cuyoselementos son todos los n´meros reales x, para los cuales
u
√
x + 2 es un n´mero real
u
√

x + 2 ∈ R ⇐⇒ x + 2 ≥ 0

√
de otro modo x + 2 ser´ la raiz cuadrada de un n´mero negativo, que no es un n´mero
ıa
u
u
real. Por lo tanto, el dominio es el conjunto de todos los n´meros reales que satisfacen
u
x + 2 ≥ 0, ⇐⇒ x ≥ −2
Podemos escribir este conjunto como A = Dom(h) = {x ∈ R/x ≥ −2}.Este conjunto
o intervalo de n´meros reales se escribe [−2, +∞).
u

2

4. Dada la funci´n real
o
g : A → R,

g(x) =

1
4x − 1

Determine su dominio y recorrido.
Soluci´n
o
Buscamos el conjunto de todos los n´meros reales x para los cuales g(x) es un n´mero
u
u
real. Numerador y denominador deben ser n´meros reales, lo que en este caso es cierto
u
para todo valor real de x.Adem´s, como una fracci´n representa una divisi´n, el dea
o
o
nominador que corresponde al divisor no puede ser cero, porque la divisi´n por cero no
o
est´ definida. Entonces se tiene
a
1
∈ R ⇐⇒ 4x − 1 = 0
4x − 1
Resolviendo 4x − 1 = 0 tenemos x = 1/4, que es el unico n´mero para el cual el
´
u
denominador es cero. Por lo tanto el dominio de la funci´n es el conjunto de todos los
on´meros reales sin 1/4.
u
Dom(g) = R −

1
4

Para el recorrido buscamos el conjunto de todos los n´meros reales y que son la imagen
u
de algun x en el dominio de g. Como regla, para determinar el recorrido de una funci´n,
o
despejaremos x de su expresi´n anal´
o
ıtica
y=

1
1+y
⇒x=
4x − 1
4y

En este caso, x tambi´n resulta ser un cuociente, que es n´mero real si el divisor...