Calculo

APÉNDICE MATEMÁTICO
JUAN DAVID PRADA S.

Suponemos que el lector está familiarizado con los conceptos fundamentales de teoría de conjuntos y de cálculo diferencial. Entonces en este apéndice repasamos algunos conceptos básicos de análisis y álgebra lineal. Se basa en los libros “Mathematical Analysis” de Apostol (1974), “Topology” de Munkres (2000), “Principles of Mathematical Analysis” deRudin (1976) y “Real and Complex Analysis” de Rudin (1986). La parte de álgebra lineal sigue a Meyer (2001). 1. Nociones Básicas

En esta sección presentamos los conceptos más básicos que son utilizados a lo largo del libro y deben ser comprendidos por el lector, sin profundizar en ellos. 1.1. Supremo, ínfimo y sucesiones.

Definition. Cota superior y supremo en R. Sea S ⊆ R. Si existe un elementob ∈ R tal que para todo elemento x ∈ S se cumple (∀x ∈ S) (x ≤ b) decimos que b es una cota superior de S. Si existe un elemento m ∈ R tal que m es una cota superior de S y ningún elemento menor que m es cota superior de S (o equivalentemente, si existe otro elemento v ∈ R tal que (∀x ∈ S) (x ≤ v), entonces m ≤ v), decimos que m es la mínima cota superior, o supremo, de S. Se denota como m = supS. Si además m ∈ S entonces decimos que m es el máximo de S, m = m´x S. a Los conceptos de cota inferior, elemento ínfimo de S y elemento mínimo de S se definen de forma análoga. Note que m = sup S si y sólo si para cada x ∈ X tal que x < m se tiene que existe un y ∈ S tal que x < y ≤ m. Ahora definimos conjuntos de reales acotados inferior y superiormente: Definition. Conjunto acotado superiormente.Sean X = R y S ⊆ X. Decimos que S está acotado superiormente si existe alguna cota superior. Es decir, si existe al menos un elemento M ∈ X tal que para cualquier x ∈ S se tiene x ≤ M . De igual forma decimos que el conjunto S está acotado inferiormente si existe alguna cota inferior. Theorem. (Unicidad del supremo): Sean X un conjunto parcialmente ordenado y S ⊆ X. A lo sumo existe un elementosupremo de S. Demostración. Suponga que existe más de un elemento supremo de S. Así, sea b1 , b2 dos elementos que satisfacen las características de los elementos supremos. Entonces (∀x ∈ S) (x ≤ b1 ) y (∀x ∈ S) (x ≤ b2 ). Al ser b1 una mínima cota superior, se tiene que b1 ≤ b2 . Pero si b2 es también una mínima cota superior, entonces b2 ≤ b1 . Por la antisimetría de la relación de orden, se sigueque b1 = b2 .
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De igual manera, el ínfimo de un conjunto es único. Theorem. Completitud de Dedekind. Sea S ⊆ R tal que S = ∅. Si el conjunto S está acotado superiormente, entonces existe un b ∈ R tal que b = sup S. Es decir, todo conjunto no vacío de reales que esté acotado superiormente admite un supremo. La demostración de este teorema está fuera del alcance deeste libro. El lector puede consultar un libro de teoría de conjuntos y matemáticas estructurales en el que los números reales sean construídos explícitamente (como cortaduras de Dedekind, por ejemplo). De este teorema se desprende un sencillo corolario: Theorem. Sea S ⊆ R tal que S = ∅. Si el conjunto S está acotado inferiormente, entonces existe un a ∈ R tal que a = ´ S. ınf Demostración. Quedacomo ejercicio para el lector. Definition. Sucesión Sea X un conjunto cualquiera. Decimos que una función x : N → X que a cada número natural asigna un elemento xn ∈ X es una sucesión en X indexada por los naturales. Por sucesión finita de n términos entendemos una sucesión cuyo dominio es el conjunto {1, . . . , k}. Al elemento xn lo llamamos el n-ésimo elemento de la sucesión. Al rango de lasucesión lo notamos {xn }n∈N en el caso infinito y k {xn }n=1 en el caso finito. En cálculo se dan múltiples ejemplos de sucesiones. Si tomamos X = R, entonces n 1 algunas sucesiones infinitas son: xn = n , xn = n, xn = (−1) . Note que el rango de una sucesión infinita no tiene por qué ser infinito. Considere xn = 1 para cualquier n ∈ N. Definition. Subsucesión Sean X un conjunto cualquiera y {xn }n∈N una...