calculo

Cap´
ıtulo 1
L´gica. Conjuntos. Relaciones.
o
1.1.

L´gica proposicional.
o
Escucha, ser´s sabio. El comienzo de la sabidur´ es el silencio.
a
ıa
Pit´goras.
a

No ser´ muy desacertado pensar que algunas de la siguientes oraciones fueron pronunciıa
adas por alg´n alumno durante los ultimos d´
u
´
ıas.
Si el profesor no viene, me voy al cine
Tengo que estudiar y limpiar elcuarto, ¡No tengo tiempo para todo !
Si estudio, entonces no limpio y si limpio, entonces no estudio
Muestro prop´sito es analizarlas desde el punto de vista de la l´gica. Comenzaremos
o
o
definiendo algunos conceptos necesarios.
Definici´n 1.1.1 Una proposici´n es una afirmaci´n de la cual se puede decir que es
o
o
o
verdadera o falsa. En general las proposiciones se denotan con las letras p,q, r, s, etc.
Las siguientes son ejemplos de proposiciones:
p = la semana tiene 7 d´
ıas.
q = los angulos interiores de un cuadril´tero suman 360 grados.
´
a
r = la tierra tiene dos sat´lites naturales.
e
Es claro que p y q son proposiciones verdaderas y r es falsa.
Es importante que intentes hacer el siguiente ejercicio.
Ejercicio. 1.1.2 Dar dos ejemplos de proposiciones verdaderas ydos ejemplos de proposiciones falsas.
Hay en el lenguaje cotidiano locuciones que no son proposiciones, algunos ejemplos de
ellas son las siguientes:

1

´
CAP´
ITULO 1. LOGICA. CONJUNTOS. RELACIONES.

2

¿C´mo te fu´ en el parcial?
o
e
¿Est´s enojado?
a
¡Camin´ mas r´pido! ¡Oh, que bello!
a
a

1.1.1.

Conectivos L´gicos.
o

Conjunci´n y Disyunci´n.
o
o
Analicemos laproposici´n r dada a continuaci´n:
o
o
r = La forma de la tierra es Geoide y gira alrededor del sol.
r est´ compuesta por dos proposiciones unidas con el conectivo ((y)), las dos proposiciones
a
componentes son:
p = La forma de la tierra es Geoide. q = La tierra gira alrededor del sol.
Es posible a partir de proposiciones dadas obtener nuevas proposiciones uniendo las dadas
medianteconectivos l´gicos. Al unir dos proposiciones mediante un conectivo l´gico obteno
o
emos una proposici´n compuesta. Los conectivos l´gicos que estudiaremos en este curso
o
o
son:
((y)), llamado conjunci´n, que se representa mediante el s´
o
ımbolo ∧.
((o)), llamado disyunci´n, que se representa mediante el s´
o
ımbolo ∨.
((implicaci´n)) que se representa mediante el s´
o
ımbolo ⇒.
Es claroque la proposici´n r = La forma de la tierra es Geoide y gira alrededor del sol, es
o
verdadera pues ambas proposiciones componentes p y q son verdaderas. Analicemos otro
ejemplo.
Sean p = ayer a la tarde estudi´ ´lgebra y q = ayer a la tarde viaj´ a la luna. Formemos
ea
e
la proposici´n r = p ∧ q que es
o
r = ayer a la tarde estudi´ algebra y fui a la luna.
e´
Es claro que laproposici´n r es falsa y esto se debe a que una de las proposiciones
o
componentes, en este caso la proposici´n q, es falsa. Por lo tanto podemos afirmar que
o
para que una proposici´n r formada por r = p∧q sea verdadera deben ser verdaderas tanto
o
p como q. Analicemos los valores de verdad que toma la conjunci´n p ∧ q de acuerdo a los
o
valores de verdad de p y de q. La pregunta inmediata es¿cu´ntas posibles combinaciones
a
tenemos para p y q? p puede tomar dos valores de verdad, estos son verdadero (V) o
falso (F), y por cada uno de ellos lo mismo ocurre con q, por lo que tenemos cuatro
combinaciones posibles. Colocamos los mismos en cuadro 1.1 que denominaremos tabla
de verdad de la conjunci´n.
o

´
1.1. LOGICA PROPOSICIONAL.

3
p q
V V
V F
F V
F F

p∧q
V
F
F
FCuadro 1.1: Tabla de verdad para p ∧ q
Resumiendo podemos decir que la conjunci´n es verdadera solo cuando ambas proposio
ciones componentes lo son.
Ejercicio. 1.1.3 Expresar las siguientes proposiciones en forma simb´lica y determinar
o
el valor de verdad del resultado.
a. La Tierra tiene un sat´lite natural y J´piter es gaseoso.
e
u
b. Mozart naci´ en Austria y compuso la ´pera Las...