calculo

Cap´
ıtulo 2

La derivada y sus aplicaciones
2.1.

Introducci´n
o

En 1604 Galileo formul´ la ley de la ca´ de los cuerpos : la ca´da de los cuerpos
o
ıda
ı
es un movimiento uniformemente acelerado. Matem´ticamente se expresa diciendo que el
a
espacio s(t) recorrido es proporcional al cuadrado del tiempo:
g 2
t
2
Pero esto no satisfi z o a Galileo, quien deseaba comprender laesencia del movimiento de la
ca´ y fue aqu´ donde se equivoc´, al ig ual que otros g randes del pensamiento cient´ co
ıda
ı
o
ıfi
´
como L eonardo y D escartes. El crey´ que el principio era: la velocidad del cuerpo en ca´da
o
ı
libre es proporcional a la distancia recorrida. Ah ora, con el c´lculo diferencial e integ ral
a
no es dif´ demostrar que este principio no conduce a la ley yaestablecida. Much o se h a
ıcil
escrito sobre este famoso error, de preferir formular la ley como la velocidad proporcional
al espacio. Alg unos h istoriadores de la ciencia lo atribuyen, adem´s de la ausencia del
a
c´lculo, al rol jug ado por la g eometr´ en los albores de la ciencia moderna.
a
ıa
s(t) =

E l proceso del cual sali´ la f´sica cl´sica consisti´ en un esfuerzo pararacionalizar, o
o
ı
a
o
dicho de otra forma, para geometrizar el espacio y matematizar las leyes de la naturaleza.
A decir verdad, se trata del mismo esfuerzo, pues geometrizar el espacio no q uiere decir
otra cosa q ue aplicar al movimiento leyes geom´tricas. ¿ Y c´mo -antes de D escartes- se
e
o
pod´a matematizar algo si no es geometriz´ndolo? 1
ı
a
Para lleg ar a comprender la esencia delmovimiento, era necesario lleg ar a la idea f´
ısica
realmente dif´ de velocidad instant´nea. S ea
ıcil
a
s = f (t)
1

A. Koyr´: Estudios Galileanos. Siglo veintiuno, 1988.
e

219

220

CAP´
ITULO 2. LA DERIVADA Y SUS APLICACIONES

una funci´n que nos da la posici´n de un m´vil en el instante t. Para encontrar la velocidad
o
o
o
v en un instante t = t0 , consideremos elintervalo de tiempo transcurrido entre t 0 y t0 + h,
h = 0. El camino recorrido en el intervalo dado es
∆s = f (t0 + h) − f (t0 ).
L a velocidad promedio v es
v=

∆s
f (t0 + h) − f (t0 )
=
,
h
h

para obtener la velocidad instant´nea v es necesario h acer el intervalo de tiempo tan
a
peque˜o como queramos, es decir,
n
v = l´
ım

h→0

f (t0 + h) − f (t0 )
.
h

Este l´
ımitecorresponde a la derivada de una funci´n y dice la rapidez con que est´ vao
a
riando la funci´n. Fue N ew ton en 1665 quien lleg o a este concepto llevando el problema
o
´
f´
ısico a una formulaci´n g eom´trica, que establece la equivalencia entre la existencia del
o
e
a
o
l´
ımite v y el problema de traz ar la recta tang ente en un punto t 0 al g r´fi co de la funci´n
f.
En primerainstancia, no es claro qu´ es la tang ente a una curva plana en un punto
e
dado, pues no es equivalente al caso de la g eometr´ elemental de la circunferencia, en que
ıa
la tang ente es la recta que tiene s´lo un punto com´n con ella. Para una curva cualquiera
o
u
esto pierde sentido.
C onsideremos la curva y = f (x) y sobre ella un punto P 0 de abscisa a. Para defi nir la
tang ente en elpunto P0 consideremos otro punto P de abscisa a + h y tracemos la secante
P0 P que forma un ang ulo α con el eje X. Entonces, la recta tang ente en el punto P 0 es
´
la recta que se obtiene como caso l´
ımite de estas secantes cuando el punto P se acerca
indefi nidamente a P0 . L a tang ente del ang ulo α es:
´
tan α =

QP
f (a + h) − f (a)
=
.
P0 Q
h

Para tener la inclinaci´n de larecta tang ente debemos pasar al l´
o
ımite y obtenemos
que:
f (a + h) − f (a)
tan α = l´ tan α = l´
ım
ım
.
P →P0
h→0
h
C on los conocimientos de g eometr´ anal´
ıa
ıtica sabemos que conociendo un punto y la
inclinaci´n de la recta, ella est´ completamente determinada.
o
a

´
2.1 . INTRODUCCION

221

y

f (a + h) − f (a)
P0 = (a, f (a))
h

α
a

x
a+h

CAP´...