calculo

Soluci´n Prueba 1 de C´lculo Multivariable
o
a
6 de Abril, 2013.
Profesores: Viviana Barile, Hugo Caerols, Gladys Far´ Manuel Fuenzalida, Eduardo Olave, Miıas,
guel Olivares.

Nombre: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
TIEMPO: 120 minutos

OBSERVACIONES:
Cadarespuesta debe ser justificada con claridad.
Durante el desarrollo de la prueba no se responde ning´n tipo de pregunta.
u
El alumno que sea sorprendido usando o intentando utilizar procedimientos il´
ıcitos durante el
desarrollo de la prueba, ser´ calificado con la nota m´
a
ınima (1.0) en dicha prueba y se informar´ a
a
Pregrado de la situaci´n.
o

Pregunta 1:

2 + 2 + 2 puntos. . . . . .Pregunta 2:
Pregunta 3:

4 + 2 puntos. . . . . .
6 puntos. . . . . .

Pregunta 4: 6 puntos. . . . . .
Nota:. . . . . .

1

1. Sea C la intersecci´n de la superficie cil´
o
ındrica S1 :

x2 y 2
+
=2
4
25

y el plano S2 : y = 5z
a) Parametrice la curva y repres´ntela gr´ficamente.
e
a
Soluci´n:
o
→(t) = ( 2√2 cos(t), 5√2 sin(t), √2 sin(t) ) t ∈ [0, 2π]
−
r

´CRITERIOS DE CORRECCION
1. PARAMETRIZAR LA CURVA 1 PUNTOS.
2. DIBUJAR LA CURVA 1 PUNTO.

b) Determine la curvatura de la curva C en el punto ( 2, 5, 1 ).
Soluci´n:
o
|r (t) × r (t)|
Como κ(t) =
se tiene entonces
3
√ |r (t)| √
√
r (t) = ( −2 2 sin(t), 5 2 cos(t), 2 cos(t) )
√
√
√
r (t) = ( −2 2 cos(t), −5 2 sin(t), − 2 sin(t) )
r (t) × r (t) = ( 0, −4, 20 )
√
|r (t) × r (t)| = 416
√
√√
r ( π ) = ( −2 2 sin( π ), 5 2 cos( π ), 2 cos( π ) ) = ( −2, 5, 1 )
4
4
4
4
√
π
|r ( 4 )| = 30
1 208
κ( π ) =
4
30 15
´
CRITERIOS DE CORRECCION

2

1. Determinar |r (t) × r (t)| 1 PUNTOS.
2. Determinar |r ( π )| 0,5 PUNTOS.
4
3. Evaluar k( π ) 0,5 PUNTOS.
4

c) Calcule la torsi´n de la curva C en el punto ( 2, 5, 1 ).
o
¿ Cu´l es el plano osculador en ese punto ?
aSoluci´n:
o
Como la curva es plana, la torsi´n es 0. y el plano osculador corresponde al plano y = 5z.
o

´
CRITERIOS DE CORRECCION
1. Justificar Torsi´n igual a 0 1 PUNTO.
o
2. Determinar el plano Osculador 1 PUNTO.

3

2. a) Determine y grafique el dominio Ω de f (x, y) =

y2 − x
. Indique el interior y la frontera
ln(y − x)

de Ω. ¿Es Ω abierto? ¿Es cerrado? Justifique.Soluci´n:
o
Ω = { (x, y) ∈ R2 / y 2 − x ≥ 0 ∧ y − x > 0 ∧ y − x = 1}

Int(Ω) = { (x, y) ∈ R2 / y 2 − x > 0 ∧ y − x > 0 ∧ y − x = 1}
∂(Ω) = { (x, y) ∈ R2 / y 2 − x = 0, x ∈ [0, 1] ∨ y − x = 0, x ∈] − ∞, 0[ ∪ ]1, ∞[ }

Ω no es abierto pu´s si tomamos una bola con centro en un punto como en la gr´fica esta
e
a
no queda completamente contenida en Ω.

4

Tambi´n podemos notar que elcomplemento de Ω no es abierto.
e

Luego podemos concluir que Ω no es abierto y que Ω no es cerrado.
´
CRITERIOS DE CORRECCION
1. Determinar dominio 1 PUNTO.
2. Gr´fico del dominio 1 PUNTO.
a
3. Determina Interior de Ω 0.5 Puntos.
4. Determina Frontera de Ω 0.5 Puntos.
5. Explicaci´n de porque no es abierto ni cerrado 1Punto.
o

b) Dibuje las curvas de nivel de f (x, y) =

y 2 − x2 + 1
,para c = −2 y c = 1.
y2

Soluci´n:
o
y 2 − x2 + 1
= −2, y de esto x2 − 3y 2 = 1 las curvas de nivel
y2
son hip´rbolas centradas en el origen con y = 0.
e

Para c = −2 se tiene que

y 2 − x2 + 1
= 1, y de esto 1 − x2 = 0 las curvas de nivel son dos
y2
rectas x = 1 y x = −1 con y = 0.
Para c = 1 se tiene que

.
´
CRITERIOS DE CORRECCION

5

1. Para c = 2 Determina la ecuaci´nde la hip´rbola 0,5 Puntos.
o
e
2. Gr´fico 0,5 Puntos.
a

1. Para c = 1 Determina la ecuaci´n de las rectas 0,5 Puntos.
o
2. Gr´fico 0,5 Puntos.
a

6

3. Determine los valores de α ∈ R para los cuales el l´
ımite
l´
ım
(x,y)→(0,0)

|xy|α
x2 − xy + y 2

Existe. Justifique su decisi´n.
o
Soluci´n:
o
Notamos que: |x2 − xy + y 2 | ≥ |x2 − |xy| + y 2 | Luego para (x, y) = (0,...