Calculo

EXAMEN: JUNY 2S
Assignatura: Càlcul
Data: 01 /juny

•
•
•
•

Curs: 2009/10

L’examen dura 2 hores.
Tota sospita de còpia significarà perdre la propera convocatòria oficial.
No es potusar calculadora ni apunts. Els telèfons mòbils han d’estar desconnectats i en un lloc no visible.
Recordeu que un examen escrit a llapis no té dret a revisió. Un examen amb bolígraf verd tampoc no tédret a revisió.

PROBLEMA 1 (2 punts)
Calcula el volum d’un sòlid de base un cercle donat per l’equació ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ ൌ 4 i les seccions perpendiculars a a l’eix

X són triangles equilàters.ܽሺ‫ ݔ‬ሻ ൌ 2‫ ݕ‬ൌ 2√4 െ ‫ ݔ‬ଶ
݄ ൌ ܽ‫ 06݊݅ݏ‬ൌ
‫ܣ‬ൌ

ଵ
ଶ

݄ܽ ൌ
ଶ

௔ √ଷ
ଶ

ଵ ௔௔ √ଷ
ଶ

ଶ

ൌ

௔ మ √ଷ
ସ

ଶ √ଷ

ܸ ൌ 2 ‫ ܵ ׬‬ሺ‫ݔ‬ሻ݀‫ ݔ‬ൌ 2 ‫׬‬
଴
଴
଼ ଶ

ସ

଼ ଶ

2√3 ቂ8 െ ቃ ൌ 2√3 ቂ8 െቃ ൌ
ଷ ଴

ଶ √ଷ

ሾܽሺ‫ ݔ‬ሻሿଶ ݀‫ ݔ‬ൌ 2 ‫׬‬
଴

ଷ ଴

ଷଶ√ଷ
ଷ

ସ

ଶ

4ሺ4 െ ‫ ݔ‬ଶ ሻ݀‫ ݔ‬ൌ 2√3 ‫ ׬‬ሺ4 െ ‫ ݔ‬ଶ ሻ݀‫ ݔ‬ൌ 2√3 ቂ4‫ ݔ‬െ
଴

௫య

ଶ

ቃ ൌ

ଷ ଴

PROBLEMA 2 (2 punts)
Calculal’àrea interior a la primera volta de l’espiral d’Arquímedes amb equació en coordenades polars
࣋ ൌ ࢇࣂ per ࣂ ൒ ૙ i troba quina relació té amb l’àrea del cercle que l’envolta (radi 2πa). Il·lustra-ho ambuna gràfica d’aquestes dues àrees.

Àrea de la primera espiral d’Arquímedes:
ଶగ

‫ܣ‬௘ ൌ ‫ ׬‬ሺܽߠሻଶ ݀ߠ ൌ ܽଶ
ଶ ଴
ଶ
ଵ

ଵ

ఏయ

ଶగ

ቚ

ଷ ଴

ൌ

௔ మ ଼గయ
଺

ൌ

ସ
ଷ

ܽଶ ߨ ଷ

Àreadel cercle que l’envolta:
ଶగ

‫ܣ‬௖ ൌ ‫ ׬‬ሺ2ߨܽሻଶ ݀ߠ ൌ 2ܽଶ ߨ ଶ ߠ|ଶగ ൌ 4ܽଶ ߨ ଷ
଴
ଶ ଴
ଵ

Relació entre les dues àrees:
஺೐
஺೎

ൌ

ర మ య
௔ గ
య
ସ௔ మ గయ

ൌ

ଵ
ଷ

PROBLEMA 3 (1 punts)Estudia el caràcter de la sèrie numèrica:
∞

෎
௡ୀଵ

ሺn ൅ 1ሻ୬
e୬

మ

Condició necessària de convergència

lim௡՜ஶ

ሺn൅1ሻn
2

en

ൌ0

Apliquem el criteri de l’arrel:
ߤ ൌ lim௡՜ஶ ට
nሺn൅1ሻn
2

en

ൌ lim௡՜ஶ

ሺn൅1ሻ
en

ൌ 0 ൏ 1 ՜ ܿ‫ݐ݊݁݃ݎ݁ݒ݊݋‬

PROBLEMA 4 (2 punts)
୬!

Calcula el domini o radi de convergència de la sèrie de potències ෍

∞

౤
௡ୀଵ ୬...