Calculo

Relación transitiva


Ejemplo: Si a es mayor que b, y b es mayor que c, entonces, a es mayor que c.
Una relación binaria sobre un conjuntoes transitiva cuando se cumple: siempre que un elemento se relaciona con otro y éste último con un tercero, entonces el primero se relaciona conel tercero.
Esto es:

Dado el conjunto A y una relación R, esta relación es transitiva si: a R b y b R c se cumple a R c.
La propiedadanterior se conoce como transitividad.
[editar]Ejemplos

Así por ejemplo dado el conjunto N de los números naturales y la relación binaria "menor oigual que" vemos que es transitiva:

Así, puesto que:

En general las relaciones de orden (ser menor, mayor, igual, menor o igual, mayor oigual) son transitivas.
Tomando de nuevo el conjunto de los números naturales, y la relación divide a:

Para todo valor a, b, c numero natural:si a divide a b y b divide a c entonces a divide a c
Dado que 3|12 (3 divide a 12) y 12|48 (12 divide a 48), la transitividad establece que3|48 (3 divide a 48).
Sin embargo, no todas las relaciones binarias son transitivas. La relación "no es subconjunto" no es transitiva. Por ejemplo,si X = {1,2,3}, Y={2,3,4,5}, Z={1,2,3,4}. Entonces
Se cumple y pero no se cumple puesto que es subconjunto de .
Otro ejemplo de relaciónbinaria que no es transitiva es "ser la mitad de": 5 es la mitad de 10 y 10 es la mitad de 20, pero 5 no es la mitad de 20.
[editar]Representación