Calculo

Funciones de Varias Variables
Introducción a las funciones de varias variables
Definición de función de dos variables.
Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales. Si a cada parordenado (x,y) de D le corresponde un número real f(x,y), entonces se dice que f es función de x e y. El conjunto de D es el dominio de f y el correspondiente conjunto de valores de f(x,y) es el recorrido def.

Derivadas parciales.
Definición de derivadas parciales de una función de dos variables.
Si z=f(x,y), entonces las derivadas parciales primeras de f con respecto a x y a y son las funcionesf_x y f_y definidas mediante
f_x=lim┬(∆x → 0)⁡〖(f(x+∆x,y)-f(x,y))/∆x〗

f_y (x,y)=lim┬(∆y → 0)⁡〖(f(x,y+∆y)-f(x,y))/∆y〗

Siempre y cuando exista el límite

Hay notaciones diferentes para lasderivadas parciales primeras. Aquí damos una lista de las más comunes, junto con la notación para las derivadas parciales evaluadas en el punto (a, b).
Esta definición indica que si z=f(x,y), entonces paracalcular f_x consideramos que y es constante y derivamos con respecto a x. De forma similar, para obtener f_y, consideramos que x es constante y derivamos con respecto a y.
Notación para lasderivadas parciales primeras.
Si z=f(x,y), las derivadas parciales f_x y f_y se denotan
∂/∂x f(x,y)=f_x (x,y)=z_x=∂z/∂x

∂/∂x f(x,y)=f_y (x,y)=z_y=∂z/∂y
Las derivadas parciales primeras evaluadas en elpunto (a, b) se denotan
├ ∂z/∂x┤|_((a,b))=f_x (a,b) y ├ ∂z/∂y┤|_((a,b))=f_y (a,b)

Diferenciales.
Definición de diferencial total.
Si z=f(x,y) y ∆x,∆y son incrementos de x y de y, entonceslas diferenciales de las variables independientes x e y son:
dx=∆x y dy=∆y
Y la diferencial total de la variable dependiente z es
dz=∂z/∂x dx+∂z/∂y dy=f_x (x,y)dx+f_y (x,y)dy

Regla de la cadenapara funciones de varias variables
Teorema 15.6 Regla de la cadena
Sea w=f(x,y), donde f es una función diferenciable de x e y. Si x=g(t) e y=h(t), siendo g y h funciones derivables de t,...