Calculo

´ Apendice

C

Elementos básicos de cálculo
C.1. Introducción
En este apéndice se presentan las nociones fundamentales del cálculo usadas frecuentemente en la disciplina estadística. Tales ideas se presentan con el propósito de facilitar la aproximación del lector a las probabilidades desde la perspectiva de las variables aleatorias continuas. En este apéndice, basado principalmente en ellibro de cálculo de una variable de Thomas (2006) de donde se han tomado textualmente variados conceptos y ejemplos se muestran los aspectos teóricos del cálculo univariado relacionados con las funciones, los límites las derivadas y las integrales. Se deja como ejercicio para el lector que consulte todas las demostraciones de las proposiciones dadas en este apéndice.

C.2. Funciones
Lasfunciones representan el principal objeto de análisis en el cálculo y la estadística, ya que constituyen la clave para describir los fenómenos del mundo real en términos matemáticos. Cuando el valor de una cantidad variable el valor de

y

depende y está totalmente determinado por el valor de otra cantidad variable

x de

un conjunto (detalles en el apéndice B), se dice que  y es una función dela variable

y

está dado por una fórmula que indica como calcularlo a partir del valor de

x. Frecuentemente x. Una manera

simbólica de expresar  y es una función de la variable

x

consiste en escribir

y = f (x)
donde

f

representa la función. Aquí, la variable

y

se llama

variable dependiente .

x se denomina variable

independiente y la variable

349350

APÉNDICE C.

ELEMENTOS BÁSICOS DE CÁLCULO

Denición C.2.1.
conjunto

Una a

B,

denotada con

elemento único

y∈B

f denida entre un conjunto A y f : A −→ B , es una regla que asigna cada elemento x ∈ A. A
se llama

función

un un

Nota. En la denición C.2.1, el conjunto
los valores de

y

a medida que

x

varia en

A

se denomina

dominio de lafunción y el conjunto de todos rango , esto es, el conjunto dado por {y ∈ B :
A.
Además,

y = f (x)},

de la función, que puede o no coincidir con todos los elementos del conjunto
1

cuando el rango de una función es un subconjunto de los números reales, se dice que la función es una

función de valor real
Ejemplo C.2.1.

.

En la tabla C.1 se muestran el dominio y el rango dealgunas funciones y en la gura
2

C.1 se presenta la gráca

de cada una de ellas.

Función

Dominio

Rango

Tipo Polinomial Racional Exponencial Trigonométrica Exponencial Logarítmica

f1 (x) = x f2 (x) = 1/x √ f3 (x) = x f4 (x) = sin(x) f5 (x) = ex f6 (x) = ln(x)

2

(−∞, ∞) (−∞, ∞) − {0} [0, ∞) (−∞, ∞) (−∞, ∞) (0, ∞)

[0, ∞) (−∞, ∞) − {0} [0, ∞) [0, 1] (0, ∞) (−∞, ∞)

TablaC.1: Dominio, rango y clasicación de algunas funciones.

Los siguientes son algunos tipos de funciones:

•

Una

función polinomial
a0 , a1 , . . . , an−1 , an

es una función de la forma

f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0
donde

se denomina

grado

son números reales con

an = 0

y

n

es un entero no negativo que

del polinomio (detalles en la secciónA.7). Las

funciones polinomiales de grado 1, las

funciones cuadráticas

funciones lineales

son

son funciones polinomiales de

grado 2, etc. El dominio de todas las funciones polinomiales es el conjunto de los números reales.

•

Una

función racional

es una función de la forma

f (x) =
donde

p(x) q(x)
es

p(x) y q(x) son funciones polinomiales. El dominio de unafunción racional q(x) = 0}, es decir, el conjunto de todos lo números reales tales que q(x) = 0.
este apéndice todas las funciones los son.

{x ∈ R :

1 En 2 La

gráca

de una función

coordenadas son

(x, f (x))

donde

y = f (x) consiste en el conjunto de x es cualquier valor del dominio de la

todos los puntos en el plano cartesiano cuyas función.

C.2.

FUNCIONES

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