Calculo

Identificaci´n de Funciones. o
La funci´n constante. f (x) = c, su dominio es R y su rango es c. Su o gr´fica es una recta horizontal. a
4

3

2

1

2

1

1

2

Figura 1: Funci´n constante: f (x) = 2 o Funciones potencia: Una funci´n de la forma f (x) = xa donde a es una o constante, se llama funci´n potencia. o Tenemos varios casos: a) a = n, un entero positivo. A continuaci´n semuestran las gr´ficas o a de f (x) = xn para n = 1, 2, 3, 4, 5, las cuales est´n definidas para a −∞ < x < ∞. La forma general de la gr´fica de f (x) = xn depende a de si n es par o impar.

2

1

2

1

1

2

1

2

Figura 2: Funci´n lineal: x = y o

1

4

3

2

1

2

1

1

2

Figura 3: Funci´n cuadr´tica: y = x2 o a

5

2

1

1

2

5

Figura 4:Funci´n c´bica: y = x3 o u
15

10

5

2

1

1

2

Figura 5: Funci´n cu´rtica: y = x4 o a
15 10 5

2

1 5 10 15

1

2

Figura 6: Funci´n qu´ o ıntica: y = x5 2

Si n es par entonces f (x) = xn es una funi´n par y su gr´fica es similar o a 2 a la par´bola y = x . Par: sim´trica con el eje vertical. a e Si n es impar entonces f (x) = xn es una funci´n impar y su gr´fica es o a3 similar a la de y = x . Impar: sim´trica con el origen. e Observaci´n: A medida que aumenta la potencia n, las curvas tienden o a ensancharse hacia el eje x en el intervalo (−1, 1), y tambi´n que se e elevan con una inclinaci´n mayor para | x |≥ 1. Cada curva pasa por o el punto (1, 1) y por el origen. b) a = −1 o a = −2. f (x) = x−1 = para todo x = 0.
1 x

y g(x) = x−2 =

1 . x2

Est´ndefinidas a

La gr´fica de f (x) es una hip´rbola xy = 1. a e
4

2

2

1 2

1

2

4

Figura 7: y = Dominio: x = 0 y
20

1 x

Rango: y = 0.

15

10

5

2

1

1

2

Figura 8: y = Dominio: x = 0 y 3

1 x2

Rango: y > 0.

1 o c) √ = 1 , 1 , . . . o bien, a = n , n entero positivo. La funci´n f (x) = x n = a 2 3 √ n x es una funci´n ra´ Para n = 2, f (x) = xcuyo dominio es [0, ∞) o ız. y cuya gr´fica es la mitad superior de la par´bola x = y 2 . Para n = 3, a a √ 3 g(x) = x cuyo dominio es todo R.
1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

1

0.5

1.0

1.5

2.0

Figura 9: f (x) = Dominio: 0 ≤ x < ∞
2.0

√

x

y Rango: 0 ≤ y < ∞.

1.5

1.0

0.5

2

4

6

8

10

Figura 10: f (x) = Dominio: −∞ < x < ∞

√ 3

x

y Rango: −∞ < y< ∞.

Polinomios: Una funci´n p es un polinomio si o P (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 en donde n es un entero no negativo y los n´meros a0 , a1 , a2 , . . . , an son ctes u llamadas coeficientes del polinomio. El dominio de cualquier polinomio es (−∞, ∞). Si el coeficiente del t´rmino dominante es an = 0 y n > 0, ene tonces n es el grado del polinomio. Por ejemplo: P (x) =2x6 − x4 + √ 2 es un polinomio de grado 6.

4

Las funciones lineales con m = 0 son polinomios de grado 1. Los polinomios de grado 2 son funciones cuadr´ticas y es de las forma a P (x) = ax2 + bx + c. Un polinomio de tercer grado es de la forma P (x) = ax3 + bx2 + cx + d y se llama funci´n c´bica. o u Funciones racionales: Una funci´n racional es un cociente o raz´n de o o dos polinomios de laforma p(x) f (x) = q(x) Su dominio es el conjunto de todos los numeros reales x para los cuales q(x) = 0. Por ejemplo: f (x) = 2x2 − 3 7x + 4

4 7x + 4 = 0 ⇒ 7x = −4 ⇒ x = − 4 ∴ el dominio es:{x | x = − 7 }. 7

Funciones algebraicas: Una funci´n algebraica es la que se construye a o partir de polinomios usando operaciones algebraicas. Las funciones racionales son casos especiales de lasfunciones algebraicas. Funciones exponenciales: Las funciones de la forma f (x) = ax , donde la base a > 0 es una constante positiva y a = 1, se llaman funciones exponenciales. Todas las funciones exponenciales tienen dominio (−∞, ∞) y su rango (0, ∞). As´ una funci´n exponencial nunca vale cero. ı, o
6 5 4 3 2 1

2.0

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

Figura 11: y = 10x , y = 3x , y = 2x

5...