calculo

ANTES DE COMENZAR A COPIAR TODO INCUESTIONABLEMENTE,
TE RECOMIENDO QUE LEAS CON ATENCIÓN LA EXPLICACIÓN QUE
TE PROPORCIONO, PORQUE EVITARÉ REPETIR NOTAS Y/O PROCEDIMIENTOS YA HECHOS, NO POR HUEVA, POR TU BIÉN, PARA
QUE TE FORCES A RAZONAR, Y EN UNA DE ESAS LO ENTIENDES.
Para cada integral se utilizará la forma que corresponde. Trata de checar en
tus apuntes cada una de ellas. Se supone quelos ejercicios corresponden al caso
de funciones cuadráticas repetidas, sin embargo se han de combinar algunos.
Exercise 1 18)

R

x2 x+4
(x 1)(x2 +1)2

dx

Se transcribe la fracción y se iguala a la forma que le corresponde
x2 x+4
Dx+E
= xA 1 + Bx+C + (x2 +1)2
x2 +1
(x 1)(x2 +1)2
Se multiplica todo por el denominador de la izquierda
2
x2 x + 4 = A x2 + 1 + (Bx + C) (x 1) x2 + 1+ (Dx + E) (x 1)
Expandemos la función
x2 x + 4 = Ax4 + 2Ax2 + A + Bx4 Bx3 + Bx2 Bx + Cx3 Cx2 + Cx
C + Dx2 Dx + Ex E
Factoramos
x2 x+4 = x4 (A + B)+x3 ( B + C)+x2 (2A + B C + D)+x ( B + C D + E)+
A C E
Resolvemos sistemas de ecuaciones
El sistema de ecuaciones se forma relacionando las literales de la izquierda (y
sus multiplicandos) con las de la derecha (y sus multiplicandos), es decir,si x2 =
x2 (2A + B C + D) signi…ca que (2A + B C + D) = 1. En caso que la igualdad fuera 5x2 = x2 (2A + B C + D) signi…caría que (2A + B C + D) = 5.
NOTA: Ten bién claro como se forma un sistema de ecuaciones y trata
de entender como se resuelve, su resolución es fundamental para en contrar el
equivalente de la fracción a integrar con su forma en fracción parcial.
para x = 1 (sustituimos 1en x. Se utiliza el número 1, porque hace cero
2
algunos factores de x2 x + 4 = A x2 + 1 + (Bx + C) (x 1) x2 + 1 +
(Dx + E)(x 1))
de modo que
4 = 4A ) A = 1
seguimos resolviendo
A+B =0!1+B =0)B = 1
C B =0!C +1=0)C = 1
2A + B C + D = 1 ! 2 1 + 1 + D = 1 ) D = 1
B+C D+E = 1!1 1+1+E = 1)E = 2
A = 1; B = 1; C = 1; D = 1; E = 2
2
Dx+E
x+4
Sustituimos los valores en (x x1)(x2 +1)2 = xA 1 +Bx+C + (x2 +1)2
x2 +1
Luego agregamos el símbolo de integral
R
R
x2 x+4
1
x+1
x+2
dx =
dx
x 1
x2 +1
(x 1)(x2 +1)2
(x2 +1)2
1

R
1
x
1
x
2
Ahora nuestra integral es
dx
x 1
x2 +1
x2 +1
(x2 +1)2
(x2 +1)2
Integremos R
R 1
R
R
R
x
x
2
dx
dx
= x 1 1 dx
x2 +1 dx
x2 +1 dx
(x2 +1)2
(x2 +1)2
completendo los diferenciales R
R
R (2)x
R (2)x
R
1
1
1
1
= x1 1 dx
dx 2 (x2 +1)2 dx
2
x2 +1 dx
x2 +1 dx
2
(x2 +1)2
NOTA: Sólo lo agragado entre paréntesis es para completar el diferencial,
de otro modo es sólo un "reacomodo" para facilitar la integración. Éste "reacomodo" es un arti…cio de integración.
con las fórmulas de integración (búsquenlas para que sepan cuales se usan)
resolvemos:
1
x
1
ln (x + 1) 1 ln x2 + 1
arctan x + 2 x21
2
+12 x2 +1 + arctan x + C
1

NOTA: arctan es lo mismo que tan

.

Para los siguientes ejercicios no habrá notas que expliquen los procedimientos, para que trates de relacionarlo y comprenderlo, exceptuando algunos pasos
que lo requieran.

Exercise 2 19)
2 x+5x2 x3
x(x2 +1)2
2

R

=

2 x+5x2 x3
x(x2 +1)2
A
x
3

dx

Bx+C
x2 +1
2

Dx+E
(x2 +1)2
2

+

+

2 x + 5xx = A x + 1 + (Bx + C) x x2 + 1 + (Dx + E) (x)
2
2 x + 5x
x3 = Ax4 + 2Ax2 + A + Bx4 + Cx3 + Bx2 + Cx + Dx2 + Ex
2
2 x + 5x
x3 = x4 (A + B) + x3 (C) + x2 (2A + B + D) + x (C + E) + A
para x = 0
2=A)A=2
A+B =0!2+B =0)B = 2
C= 1
2A + B + D = 5 ! 4 2 + D = 5 ) D = 3
2 x+5x2 x3
2
= x 2x+1 + (x23x 2
x2 +1
x(x2 +1)2
+1)
R 2 2x+1
R 2 x+5x2 x3
dx =
+ (x23x 2 dx
2
2 +1)2
R 2 x(x R 2xR 1 x x +1 3x +1)
R
dx
x dx
x2 +1 dx
x2 +1 dx +
(x2 +1)2
R 2
R 2x
R 1
R (2)3x
1
dx
x dx
x2 +1 dx
x2 +1 dx + 2
(x2 +1)2
3x
2
2 ln x ln x + 1
arctan x + 2(x2 +1) + C

Notarás que el resultado no es como el de las copias, esto se debe a que en
el libro implementan las siguientes propiedades de los logaritmos:
ln a ln b = ln a
b
ln an = n ln a
puedes implementarlos....