calculo
1. LA ANTIDERIVADA
En el estudio del primer curso de Cálculo, llamado Cálculo Diferencial, nuestro
interés era: dada una función f (x) encontrar su derivada f ' ( x) . Si ésta existía
decíamos que la función era “diferenciable”.
f ( x h) f ( x )
siempre que el límite exista.
h 0
h
En este segundo curso de Cálculo, nuestrointerés es el Cálculo Integral: dada
una función f (x) encontrar otra función F (x) (llamada Antiderivada) tal que
F ' ( x) f ( x )
Su definición es f ' ( x) lim
Ejemplo: Si f ( x) x 2 3x entonces f ' ( x) 2 x 3
Luego si f ' ( x) 2 x 3 entonces f ( x) x 2 3x
general f ( x) x 2 3x C
La Antiderivada no es única
ó
f ( x) x 2 3x 5 ó en
Definición:
Diremosque una función F es una Antiderivada de una función f,
si F ' ( x) f ( x) en algún intervalo.
Si F es una antiderivada de una función f, entonces G( x) F ( x) C también lo
es para cualquier constante C
Teorema: Si G' ( x) F ' ( x)
G( x) F ( x) C x I
para todo x en algún intervalo a, b , entonces
Demostración:
Definamos g ( x) G( x) F ( x) luego
g ' ( x) G' (x) F ' ( x) 0 x a, b
Sean x1 , x2 tales que a x1 x2 b según el Teo. Del Valor Medio existe k tal
g ( x2 ) g ( x1 )
que g ' (k )
ó
x2 x1
g ( x2 ) g ( x1 ) g ' (k )( x2 x1 ) 0 x a, b g ( x2 ) g ( x1 )
Pero como x2 x1 entonces g(x) = constante = C
Luego, G( x) F ( x) C
G( x) F ( x) C
Ejemplos:
a) La Antiderivada de f ( x) x 3 es G( x) x4
C
4
1
2x
x2
es G( x)
C
3
3
1
c) La Antiderivada de f ( x)
es G( x) x C
2 x
b) La Antiderivada de f ( x)
Propiedades:
a) Sean F y G Antiderivadas de f y g respectivamente, entonces:
F + G es una antiderivada de f + g
k F es una antiderivada de kf
b) Si f es una función real tal que f ' ( x) 0 x a, b) entonces f es una
función constante en (a, b)Notación:
Si F ' ( x) f ( x) , la Antiderivada más general de f se representa por
f ( x)dx F ( x) C
integral f(x): integrando
f ( x)dx “integral indefinida de f(x) con respecto a x”
C: constante de integración
Luego, las propiedades anteriores podemos escribirlas como:
f ( x) g ( x)dx f ( x)dx g ( x)dx F ( x) G( x) C
kf ( x)dx k f ( x)dx kF ( x) CAlgunas integrales indefinidas conocidas:
Derivada
d n
x nx n 1
dx
d
( senx) cos x
dx
d
(cos x) senx
dx
d
(tan x) sec 2 x
dx
Integral
x n 1
x dx n 1 C
cos xdx senx C
n
senxdx cos x C
sec
2
xdx tan x C
2
Ejemplos:
3
2
4 x 6 x 3x dx
x 1
x
x
3
dx
senx dx Aplicaciones a la Física:
Recordemos que si s(t ) representa la función posición de un objeto que se
mueve a lo largo de una línea recta, entonces
ds
a) su velocidad es v(t ) s' (t )
dt
dv
b) su aceleración es a(t ) v`(t )
dt
Luego, según la definición de antiderivada las cantidades s y v se pueden
expresar como integrales indefinidas
s(t ) v(t )dt
v(t ) a(t )dtConociendo la posición inicial s(0) y la rapidez inicial v(0) se pueden
obtener los valores específicos de las constantes de integración.
Ejemplo:
Un proyectil es disparado verticalmente hacia arriba desde el nivel del
suelo, con una velocidad inicial de 49 m/seg.
a) ¿Cuál es su velocidad a los t = 3 seg?
b) ¿Cuál es la máxima altura alcanzada por el proyectil?
c) ¿Cuánto dura el proyectil en elaire?
d) ¿Cuál es su velocidad de impacto?
Solución:
m
g a(t ) 9,8 seg 2
v(t ) a(t )dt 9.8dt 9.8t C1
m
Como v(0) 49 seg
C1 49
m
Luego: v(t ) 9.8t 49 y por lo tanto v(3) 9.8 3 49 19.6 seg
a) A los 3 segundos lleva una velocidad ascendente de 19.6 metros por
segundo
b) La altura del proyectil medida desde el nivel del...
Regístrate para leer el documento completo.