calculo

Regla de L’Hôpital e integrales impropias.

Semestre 2 de 2013

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1.

Regla de L’Hôpital

El cálculo de algunos límites que involucran formas indeterminadas del tipo 0/0, o ∞/∞, no
se pueden abordar de forma fácil con los métodos básicos de factorización u otros, aprendidos en cursos anteriores lo que crea la necesidad de estudiar la regla de L’Hôpital, la cual es
un teorema queaplica la derivada de una función en el cálculo de determinados límites y cuyo
nombre hace referencia al matemático francés Guillaume Francois Antoine de L’Hôpital
quien es el primer matemático en citar la regla en sus escritos.
Teorema 1.0.1 Regla de L’Hôpital. Sean f y g funciones que son derivables en un intervalo
abierto (a, b) conteniendo a c, excepto posiblemente el propio c. Asumir que g(x) = 0 para
todo x en (a, b), excepto posiblemente en el propio c. Si el límite de f (x)/g(x) cuando x
tiende a c produce la forma indeterminada 0/0, entonces,
f (x)
f (x)
= l´m
ı
x→c g (x)
g(x)
supuesto que el límite en la derecha existe ( o es infinito). Este resultado también aplica si
el límite de f (x)/g(x) cuando x tiende a c produce cualquiera de las formas indeterminadas
∞/∞,(−∞)/∞, ∞/(−∞) o (−∞)/(−∞)
l´m
ı

x→c

Nota. Al aplicar la regla de L’Hôpital tener presente las siguientes recomendaciones:
1. Verificar que realmente el límite que se está calculando presenta una de las indeterminadas permitidas.
f (x)
2. Tener cuidado en la interpretación de la expresión g (x) , la cual involucra la derivada
de las funciones f y g y no la derivada del cociente f /g.Ejemplos
1. Forma indeterminada 0/0. Evaluar el siguiente límite
ex − 1
l´m
ı
x→0
x
Solución: Dado que e0 = 1, se tiene que al evaluar directamente el valor de 0 en
el numerador y el denominador de la expresión tenemos que: l´mx→0 ex − 1 = 0 y
ı
l´mx→0 x = 0, lo que indica que podemos aplicar la regla de L’Hôpital, así:
ı
ex
ex − 1
= l´m = 1
ı
l´m
ı
x→0 1
x→0
x
2

2. Formaindeterminada ∞/∞. Evaluar el siguiente límite
ln x
x→∞ x
l´m
ı

Solución:Para abordar el cálculo de este límite es necesario recordar que la función
logaritmo natural es una función creciente y que por consiguiente, cuando x tiende a
infinito ln x también tiende a infinito. Se debe observar que en este caso es necesario
conocer el comportamiento de la función, más que su valor en un puntoespecífico
como fue el caso del ejemplo anterior. Se tiene entoces que la tendencia, tanto del
numerador como del denominador de la fracción, cuando x tiende a infinito es infinito
y que por tanto podemos aplicar la regla de L’Hôpital, así:
ln x
1/x
1
= l´m
ı
= l´m = 0
ı
x→∞ x
x→∞ 1
x→∞ x
l´m
ı

3. Forma indeterminada ∞ · 0. Evaluar el siguiente límite
l´m xe−x
ı

x→∞

Solución: Por elcomportamiento de la función exponencial, sabemos que
l´mx→∞ e−x = 0 y por consiguiente el límite a evaluar presenta la forma indetermiı
nada ∞ · 0, la cual podemos llevar a la forma ∞/∞, al escribir el producto en la forma
equivalente de cociente, y entonces aplicar la regla de L’Hôpital, así:
x
1
= l´m x = 0
ı
x
x→∞ e
x→∞ e

l´m xe−x = l´m
ı
ı

x→∞

4. Forma indeterminada ∞ −∞. Al igual que en el ejemplo anterior, la forma indeterminada ∞ − ∞ puede llevarse a la forma indeterminada 0/0 o ∞/∞ y calcular el límite
aplicando la regla de L’Hôpital. Evaluar el siguiente límite:
l´m
ı

x→2+

8
x
−
x2 − 4 x − 2

Observar que al evaluar directamente el valor de 2 en las dos fracciones se tiene que
cada una es de la forma una constante distinta de 0 sobre 0 y porconsiguiente tenemos
una indeterminada de la forma ∞ − ∞. Para llevar esta expresión a una indeterminación
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de la forma empezamos por hacer la resta entre las fracciones, tomando como común
denominador x2 − 4, así
l´m
ı

x→2+

8
x
−
x2 − 4 x − 2

= l´m
ı

x→2+

8 − x(x + 2)
x2 − 4

Observamos que al evaluar directamente el valor de 2 en el límite de la derecha,...