calculo

LÍMITE Y CONTINUIDAD
DE UNA FUNCIÓN REAL

LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA
FUNCIÓN REAL

Esta sección es el núcleo de cualquier curso introductorio de Cálculo .
Daremos una noción de límite de una función , por intermedio del cálculo de
valores de una función próxima a un número a través de un tratamiento
intuitivo del proceso hasta una definición aproximada del concepto de límite .Primeramente grafiquemos la función

x2 − 4
f(x) =
.
x − 2

Dom f = IR – { 2 } . Como x = 2 no tiene imagen , veremos que
sucede con las imágenes para valores “ muy ” cercanos a x = 2 ( valores
menores y mayores que él ) .
Haciendo una tabla de valores , tenemos :
x
f(x)

–3 –2

0

1

1.5

1.9

1.9999 2.0001

2.1 2.5

3

–1

2

3

3.5

3.9

3.9999 4.0001

4.1 4.55

0

Y
4

–2

ELIANA DEVIA S. Y JORGE GUERRA M.

2

X

1

LÍMITE Y CONTINUIDAD
DE UNA FUNCIÓN REAL

La gráfica es una recta que se corta en el punto ( 2 , 4 ) .
Observamos que tanto para valores menores o mayores , pero muy cercanos
a x = 2 , sus imágenes se acercan a y = 4 .
Por lo tanto , podemos determinar que para valores muy cercanos a x = 2 ,
sus imágenes seacercan a y = 4 . Y escribimos :
x2 − 4
lím
= lím ( x + 2 ) = 4
x → 2
x → 2
x − 2

lím f ( x ) =

x → 2

Que se lee : límite de la función f ( x ) cuando x tiende a 2 , es igual a 4 .
En general escribimos :

lím f ( x ) = L ,

x →a

a ∈ IR

, L ∈ IR

Observaciones :
1)

La “ definición ” no es una afirmación acerca del valor de la función en
a . Es una afirmación acerca delvalor de f ( x ) para x próximo a a .

2)

De acuerdo a :

lím f ( x ) = L :

x →a

lím f ( x ) ⇔ L ∈ IR ,

a)
b)
3)

Existe

No existe

Si existen :

x → a

lím f ( x ) ⇔ L ∉ IR

x → a

lím f ( x ) = L

x →a

, y f ( a ) , éstos pueden ser iguales

o no .

ELIANA DEVIA S. Y JORGE GUERRA M.

2

LÍMITE Y CONTINUIDAD
DE UNA FUNCIÓN REAL

Simbologías :Límites Laterales
lím f ( x ) = M , se lee : límite de f ( x ) cuando x tiende a a por la

x → a−

izquierda es igual a M .
lím f ( x ) = N , se lee : límite de f ( x ) cuando x tiende a a por la

x → a+

derecha es igual a N .

Definición :

lím f ( x )

x → a

existe

⇔

lím f ( x ) =

x → a−

lím f ( x )

x → a+

Observación :
Si uno de los límites laterales noexiste , o ,

lím f ( x ) ≠

x → a−

lím f ( x )

x → a+

decimos que no existe el límite de la función .

Ejemplo : Dado
 −2
 2

f(x) = 

si x ≤ −1
. Determinar si existe
si x > − 1

ELIANA DEVIA S. Y JORGE GUERRA M.

lím f ( x )

x → −1

3

LÍMITE Y CONTINUIDAD
DE UNA FUNCIÓN REAL

Solución :
La gráfica de la función es :

Y
2

–1

X
–2

i)

Si nosacercamos a – 1 por la izquierda ( valores menores que – 1 )
observamos que las imágenes de estos valores es – 2 . Entonces
podemos escribir :
lím

x → −1−

ii )

f ( x) = − 2

Si nos acercamos a – 1 por la derecha ( valores mayores que – 1 )
vemos que las imágenes de estos valores es 2 . Entonces escribimos :
lím f ( x ) = 2

x → − 1+

Como los dos límites son diferentes , pues – 2≠ 2 , concluimos que
no existe límite de la función cuando x tiende a – 1 .

ELIANA DEVIA S. Y JORGE GUERRA M.

4

LÍMITE Y CONTINUIDAD
DE UNA FUNCIÓN REAL

Propiedades :
1)
2)
3)

lím k = k , k = constante real

x → a

lím x = a

x → a

Si existe

lím f ( x )

x → a

y k ∈ IR , entonces :

lím k f ( x ) = k lím f ( x )

x →a

4)

x → a

Si f y g sonfunciones para las cuales :
lím f ( x ) = b
y
lím g ( x ) = c
, entonces :
x → a
x → a
i)
ii )

lím [ f ( x ) + g ( x ) ] = lím f ( x ) + lím g ( x ) = b + c

x → a

x →a

x → a

lím [ f ( x ) · g ( x ) ] = lím f ( x ) · lím g ( x ) = b · c

x → a

x →a

x →a

lím f ( x )
 f ( x) 
b
lím 
= x →a
=
iii ) x → a

lím g ( x )
c
 g(x) 
x →a

iv )

[f (x)] n
x...