Calculo

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA CHAPINGO
PREPARATORIA AGRÍCOLA
ÁREA DE MATEMÁTICAS

CÁLCULO MULTIVARIADO
Y ECUACIONES DIFERENCIALES

f : Rn → R

x (t ) = xh + x p

AUTOR
Víctor Rafael Valdovinos Chávez

Otoño de 2012

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AUTOR
Víctor Rafael Valdovinos Chávez

Diseño de portada: María Yenni Gayosso López

Diseño de interiores: Víctor Rafael Valdovinos Chávez

Primera edición:Septiembre de 2012

ISBN: 978-607-12-0262-8

DR © UNIVERSIDAD AUTÓNOMA CHAPINGO
km 38.5 carretera México-Texcoco
Chapingo, Texcoco, Estado de México, CP 56230
Tel: 01(595) 95 21500 ext. 5142

Impreso en México

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DIRECTORIO

DR. CARLOS ALBERTO VILLASEÑOR PEREA
RECTOR

DR. RAMÓN VALDIVIA ALCALÁ
DIRECTOR GENERAL ACADÉMICO

DR. J. REYES ALTAMIRANO CÁRDENAS
DIRECTOR GENERALDE INVESTIGACIÓN Y POSGRADO

ING. J. GUADALUPE GAYTÁN RUELAS
DIRECTOR GENERAL DE ADMINISTRACIÓN

M.C. DOMINGO MONTALVO HERNÁNDEZ
DIRECTOR GENERAL DE PATRONATO UNIVERSITARIO

BIOL. MARÍA DE LOURDES RODRÍGUEZ RAMÍREZ
DIRECTORA GENERAL DE DIFUSIÓN CULTURAL Y SERVICIO

LIC. ROCÍO GUZMÁN BENÍTEZ
JEFA DEL DEPARTAMENTO DE PUBLICACIONES

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AGRADECIMIENTOS

A mi alma mater, laUniversidad Autónoma Chapingo (UACh), por las espléndidas
facilidades que me ha otorgado, primero para mi formación profesional y luego para
trabajar en la docencia y la investigación.
A los colegas revisores: Ariel Ulloa González, Eduardo Oropeza Solórzano, J. Jesús Flores
Carmona y Oscar Galindo Tijerina, por el tiempo dedicado a la revisión, por sus atinadas
sugerencias y por honrarme consu amistad.
Al M.C. José María Contreras Castillo, Director de la DICEA y al Dr. Marcos Portillo
Vázquez, Coordinador del Posgrado de la DICEA, por el apoyo económico para publicar
esta obra.
A mis alumnos del Posgrado de la DICEA, por sus observaciones, atención y paciencia.
A mi esposa Rocío y nuestros hijos Erandi, Yunuen y Víctor, por su comprensión y su
generoso apoyo.
A lasdesafiantes e inagotables matemáticas, que se han convertido en la pasión de mi
quehacer universitario.

Valds

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CONTENIDO

Tema

Página

PRÓLOGO GENERAL

......8

CÁLCULO MULTIVARIADO
Tema

Página

1. FUNCIONES

......9

1.1 Sistemas Coordenados

......9

1.2 Funciones Multivariadas

. . . . . 11

1.3 Curvas de Nivel

. . . . . 13

2. LÍMITES Y CONTINUIDAD

. . .. . 15

2.1 Límite de una f : R 2 → R

. . . . . 15

2.2 Continuidad de una f : R 2 → R

. . . . . 17

3. DERIVADAS PARCIALES

. . . . . 19

3.1 Definición y Cálculo

. . . . . 19

3.2 Derivada Direccional

. . . . . 21

3.3 Diferencial Total

. . . . . 21

3.4 Derivada Total (regla de la cadena)

. . . . . 22

3.5 Derivadas Implícitas

. . . . . 24

3.6 Repaso deConceptos y Aplicaciones

. . . . . 25

3.7 Funciones de Producción Homogéneas

. . . . . 27

3.8 Isocuantas

. . . . . 28

4. ÓPTIMOS

. . . . . 31

4.1 Óptimos Libres

. . . . . 31

4.2 Óptimos Restringidos

. . . . . 34

4.3 Interpretación Económica de λ

. . . . . 39

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5. INTEGRALES ITERADAS

. . . . . 42

5.1 Definición y Cálculo

. . . . . 425.2 Aplicación en Estadística

. . . . . 45

6. BIBLIOGRAFÍA

. . . . . 48

ECUACIONES DIFERENCIALES (ED)
Tema

Página

1. CONCEPTOS BÁSICOS

. . . . . 49

1.1 Definiciones

. . . . . 49

1.2 ED Lineales

. . . . . 51

2. ED LINEALES DE PRIMER ORDEN

. . . . . 53

2.1 Caso Autónomo

. . . . . 53

2.2 Caso no Autónomo Homogéneo

. . . . . 55

2.3 Caso noAutónomo no Homogéneo

. . . . . 56

3. ED LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

. . . . . 58

3.1 Caso Autónomo Homogéneo

. . . . . 58

3.2 Caso Autónomo con Término Constante

. . . . . 60

3.3 Caso Autónomo con Término Variable

. . . . . 61

4. ED no LINEALES DE PRIMER ORDEN

. . . . . 64

4.1 Variables Separables

. . . . . 64

4.2 Ecuación de Bernoulli

. . . . . 66

5....