calculo

Intro: En el campo de la matemática llamado cálculo diferencial, el diferencial es un objeto matemático que representa la parte principal del cambio en la linealización de una función y = ƒ(x) con respecto a cambios en la variable independiente. El diferencial dy queda definido por la expresión

donde es la derivada de f con respecto a x, y donde dx es una variable real adicional (de maneraque dy es una función de dos variables x, y dx). La notación es tal que la expresión

donde la derivada es representada en la notación de Leibniz dy/dx, se mantiene, y es consistente con respecto a la derivada como el cociente de diferenciales. Así se puede escribir


DEFINICION: El diferencial está definido en los tratamientos modernos del cálculo diferencial de la siguiente manera.[1] Eldiferencial de una función ƒ(x) de una única variable real x es la función df de dos variables reales e independientes x y Δx dada por:

Uno, o los dos, argumentos pueden ser suprimidos: ej., se puede ver df(x) o simplemente df. Si y = ƒ(x), el diferencial también puede ser escrito dy. Dado que dx(x, Δx) = Δx es convencional escribir dx = Δx, de manera que la igualdad





Si f(x) es unafunción derivable, la diferencial de una función correspondiente al incremento h de la variable independiente, es el producto f'(x) · h.
La diferencial de una función se representa por dy.




Ejemplos.-

1.- Un depósito de agua es cónico, con el vértice hacia arriba, y tiene 40 m. de alto y 20 m.
de radio en la base. El depósito se llena a 80 m3 / min . ¿A qué velocidad se eleva el nivelde agua cuando la profundidad del agua es de 12 m.?
Nota: El volumen de un cono de altura h y radio de la base r es: 1 2
3
V = _ r h

Solución:
En cualquier instante de tiempo el volumen V es
1 2 1 2 ( )
20 40 40
3 3
V = _ − _ r − h
donde r y h son funciones del tiempo. Además estás dos funciones están
relacionadas de la manera siguiente:
40 20 40
40 2
h
r
h r
−
= =−
h
40
20
r
40-H

2.- Al calentar una placa cuadrada metálica de 15 cm de longitud, su lado aumenta 0.04 cm. ¿Cuánto aumentó aproximadamente su área?.
          Solución: Con el fin de ilustrar una situación que se presentará en todos los demás problemas y por la simplicidad de éste en particular, sólo en este caso calcularemos la diferencia de áreas D A y la compararemos con dA.Nótese que originalmente teníamos una placa de 15 x 15, después de calentarla tenemos la placa de 15.04 x 15.04, como se muestra en la figura.

En este caso la función es A(L) = L2 y por lo tanto D A en L = 15 y h = 0.04 es:
A(15.004) - A(15) = 226.2016 - 225 = 1.2016
Si ahora calculamos el diferencial de área para A(L) = L2 en L = 15 y dL = 0.04, obtenemos:
dA = A' (L)dL = (2L)dL =(2L|L=15)(0.004)= (30)(0.004) = 1.2
En consecuencia, cuando el lado se incrementa en 0.4 cm, el área aumenta aproximadamente 1.2 cm2. (El valor exacto del incremento es 1.2016)
 
Generalmente este tipo de variaciones se miden en porcentajes, es decir, como 0.04 es el 0.2666% de 15 y 1.2 es el 0.5333% de 225 = (15)2, decimos que si el lado de la placa se incrementa en un 0.266%, el área se incrementaráaproximadamente en un 0.5333%

3.- Al enfriar una placa cuadrada metálica de 20 cm de longitud en H2O, su lado disminuye un 0.03%. ¿Cuánto disminuirá porcentualmente su área?.
Solución: El 0.03% de 20 es , por lo que en este caso:
A(L) = L2 , Lo = 20 y dL = -0.006
D A @ dA = 2LdL = 2(20)(-0.006) = (40)(-0.006) = -0.24
Podemos calcular que 0.24 representa el 0.06% de (20)2, por lo que, cuando ellado disminuye un 0.03%, el área disminuye aproximadamente un 0.06%, es decir se duplica porcentualmente.
Este último resultado lo podemos obtener directamente de la siguiente manera:
D A @ dA = 2LdL = 2(20)[] =
que representa el 0.06% del área original (20)2.

4.- La pared lateral de un depósito cilíndrico de radio 50 cm y altura 1 m, debe revestirse con una capa de concreto de 3 cm de...