calculo






Unidad III Aplicaciones de la integral.

3.1 Áreas.
3.1.1 Área bajo la gráfica de una función.
3.1.2 Área entre las gráficas de funciones.
3.2 Longitud de curvas.
3.3 Cálculo de volúmenes de sólidos de sólidos de revolución.
3.4 Cálculo de centroides.
3.5 Otras aplicaciones.

INTRODUCCION:


En esta unidad vamos refiriéndonos a la historia, el cálculo integralse dio a la luz gracias al problema geométrico de hallar áreas de regiones no poligonales, es decir de regiones con aspecto curvo.
Interpretar enunciados de problemas para construir la función que al ser integrada da la solución.
Área entre las gráficas de funciones, Para estas regiones en particular, no se es dado los límites de integración, que serían los puntos de corte entre dos gráficas.Más bien, para encontrarlos, basta hallar los x (o los y) para los cuales f-g. Longitud de curvas. En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvasespecíficas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos. Cálculo de centroides. Cuando una placa sólida es de espesor constante y homogéneo, su masa es directamente proporcional a su área, en donde la proporcionalidad depende del espesor de la placa y la densidad del material. Resolver problemas de cálculo de áreas, centroides,longitud de curvas y volúmenes de sólidos de revolución.
Reconocer el potencial del Cálculo integral en la ingeniería.




3.1 Áreas.

Refiriéndonos a la historia, el cálculo integral se dio a la luz gracias al problema geométrico de hallar áreas de regiones no po ligonales, es decir de regiones con aspecto curvo. De hecho, vamos a mostrar, como poder hallar áreas haciendo uso de laintegral. Comencemos dando una primera definición de la relación que existe entre la integral y el área (bajo curva en primera medida) de una región no poligonal


3.1.1 Área bajo la gráfica de una función.
Sí f es continua y no negativa en un intervalo cerrado [a, b], el área de la región limitada por la gráfica de f, el eje x y las rectas verticales x = a y x = b viene dada por:

Enella se ve que f es una función continua, positiva (por encima del eje x), y la región R está limitada (acotada) por las rectas verticales x = a y x = b. Podemos hallar el área de la región R por medio de una integral definida aplicando la definición anterior.
Como lo hemos planeado, daremos algunos ejemplos para ver cómo se puede aplicar la definición.
EJEMPLO 1: Hallar el área de la regiónacotada por la curva y las rectas f(x) = 4 y x =−3 y x = 2.
SOLUCIÓN:
1. TRAZO DE LA REGIÓN: En primera medida, se debe trazar la región que se pide. Aquí f es positiva y continua.

2. PLANTEAMIENTO DE LA INTEGRAL: Aplicando la definición anterior, el área de la región R viene dado por:

3. EVALUACIÓN DE LA INTEGRAL: Ahora procedemos a evaluar la integral.

Luego el área de laregión es 20 u2.
Obsérvese que esta región es rectangular, luego se puede encontrar su área usando los métodos de la geometría. Desde este punto de vista se puede hacer lo siguiente:

No es sorprendente que se hayan obtenido resultados equivalentes.
EJEMPLO 2: Hallemos el área de la región acotada por la curva
acotada por [−5,5]
SOLUCIÓN:
1. TRAZO DE LA REGIÓN: Presentamosel trazo de la curva junto con el intervalo de acotación sobre el eje x, por su puesto.

2. PLANTEAMIENTO DE LA INTEGRAL: Si se observa la figura anterior, las rectas x= −5 y x = 5 dividen la región en dos partes; A1 y A2 respectivamente. También se puede ver que el intervalo se puede dividir en dos, así: [−5,5] , [−5,0] y [−0,5]. Luego el área de la región (sombreada) viene dada por:
A...