Calculo

Teorema de Rolle y Teorema del Valor Medio
 
Teorema de Rolle: Si una función es continua en el intervalo [a,b] y es derivable en el intervalo abierto (a,b) y si f(a) = f(b), entonces f’(c) = 0para al menos un número c en (a,b).
Ejemplos:
1) Sea f(x) = x4 - 2x2. Demuestra que f satisface la hipotésis del teorema de Rolle en el intervalo [-2,2] y halla todos los números c en el intervaloabierto (-2,2) tal que f’(c) = 0.
Solución: Como f es una función polinómica entonces es continua y derivable para todo valor x. Por tanto, es continua en [-2,2] y derivable en el intervalo (-2,2).Además,
f(-2) = (-2)4 - 2(-2)2 = 16 - 8 = 8   y,  f(2) = (2)4 - 2(2)2 = 16 - 8 = 8.  Por lo tanto, f(-2) = f(2) = 8.
Luego, f’(x) = 4x3 - 4x
= 4x(x2 - 1)
= 4x(x + 1)(x - 1)
Por lo tanto, c = 0, -1, 1.Así que, en el intervalo abierto (-2,2) la derivada es cero en esos tres puntos, esto es: f’(0) = 0, f’(-1) = 0 y f’(1) = 0. Gráficamente se puede observar que en los puntos (0,0), (-1,-1) y (1,-1) larecta tangente es horizontal.

 
2) ¿Se podrá aplicar el teorema de Rolle en f(x) = abs(x) en el intervalo [-2,2]?
Solución: No, porque la función no es derivable en x = 0. No sostiene toda lahipotésis del teorema, por tanto, no se satisface la conclusión.
3) Determina el intervalo para f(x) = x2 - 3x + 2 en donde se puede aplicar el teorema de Rolle. Halla el valor c en el intervalo talque f’(c) = 0.
Solución: Como f es continua y derivable por ser una función polinómica, entonces el teorema de Rolle garantiza la existencia de al menos un valor c. Para hallar el intervalo se igualala función a cero y se factoriza. Esto es:
x2 - 3x + 2 = 0
(x - 2)(x - 1) = 0
x - 2 = 0, x - 1 = 0
x = 2 , x = 1
Por tanto, el intervalo es (1,2).
Luego, f’(x) = 2x - 3
2x - 3 = 0
2x = 3
x =1.5
Así que c = 1.5.
 
Teorema del valor medio: Si f es una función continua en [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b), existe un número c en (a,b) tal que:

Ejemplo: Si f(x) = x3 - 8x...