calculo
Páginas: 32 (7761 palabras)
Publicado: 9 de julio de 2014
Calculo de volumen
El volumen de una figura representa el espacio tridimensional ocupado por ésta. Mientras que para hallar el área de una superficie determinada debes trabajar con unidades cuadradas, para hallar el volumen debes emplear unidades cúbicas. Si quieres saber cómo calcular el volumen de una serie de figuras distintas, sigue estos sencillos pasos.
Escribe la fórmula para hallar elvolumen de un prisma rectangular. La fórmula para hallar el volumen de un prisma rectangular es simplemente V = L x P x H, donde V = volumen, L = longitud, P = profundidad, y H = altura.
Anota la fórmula para hallar el volumen de un cilindro: La fórmula es V = πr2h. V representa el volumen, h representa la altura, y πr2 representa el área de la base circular.
Esto es lo mismo que calcular elvolumen multiplicando la base por la altura. En este caso, la base es circular (por eso πr2). Una forma más sencilla de plantear esta fórmula es V = B x H, donde B representa la base, o el área del círculo, y H representa la altura.
Calcular el área de una base circular. Para calcular el área de un círculo, simplemente tienes que emplear la fórmula A = πr2. La r representa el radio de la basecircular. Digamos que este cilindro particular tiene un radio de base de 4 m.
Para hallar el área de este círculo, simplemente sustituye r por 4 en la fórmula A = πr2 para obtener A = π x 16 m2. Usa la tecla π de tu calculadora para conseguir un resultado lo más preciso posible. Si no tienes calculadora, puedes usar 3.14, los primeros tres dígitos de π, pero no obtendrás un resultado tan preciso.Ej.: A = 16 m2 x π.
Ej.: A = 50.24 m2
Halla la altura. La altura del cilindro es la distancia vertical a lo largo de la cual se extiende la figura. Supongamos que la altura de este mismo cilindro es de 10 m. El área de su base será de 50.24 m2 y la altura será de 10 m.
Multiplica el área de la base por la altura. Simplemente utiliza la fórmula original empleando los datos que ya conoces V =πr2h. Recuerda que el área de la base es de 50.24 m2 y que la altura es de 10 m.
Ej.: V = 50.24 m2 x 10 m
Ej.: V = 502.4 m3
Cálculo de volúmenes
Al introducir la integración, vimos que el área es solamente una de las muchas aplicaciones de la integral definida. Otra aplicación importante la tenemos en su uso para calcular el volumen de un sólido tridimensional.
Si una región de un plano se giraalrededor de un eje E de ese mismo plano, se obtiene una región tridimensional llamada sólido de revolución generado por la región plana alrededor de lo que se conoce como eje de revolución. Este tipo de sólidos suele aparecer frecuentemente en ingeniería y en procesos de producción. Son ejemplos de sólidos de revolución: ejes, embudos, pilares, botellas y émbolos.
Existen distintas fórmulas parael volumen de revolución, según se tome un eje de giro paralelo al eje OX o al eje OY . Incluso a veces, es posible hallar el volumen de cuerpos que no son de revolución.
1. Volúmenes de revolución: El Método de los discos
Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El más simple de ellos es el cilindro circular recto o disco, que se forma al girar unrectángulo alrededor de un eje adyacente a uno de los lados del rectángulo. El volumen de este disco de radio R y de anchura es:
Volumen del disco =
Para ver cómo usar el volumen del disco para calcular el volumen de un sólido de revolucióngeneral, consideremos una función continua f (x ) definida en el intervalo [a,b], cuya gráfica determina con las rectas x = a, x = b, y = 0, el recinto R.Si giramos este recinto alrededor del eje OX , obtenemos un sólido de revolución.
Se trata de hallar el volumen de este cuerpo engendrado por R. Para ello hay que seguir un proceso similar al realizado en la definición de integral definida.
Elegimos una partición regular de [a, b]:
Estas divisiones determinan en el sólido n discos cuya suma se aproxima al volumen del mismo. Teniendo en cuenta...
El volumen de una figura representa el espacio tridimensional ocupado por ésta. Mientras que para hallar el área de una superficie determinada debes trabajar con unidades cuadradas, para hallar el volumen debes emplear unidades cúbicas. Si quieres saber cómo calcular el volumen de una serie de figuras distintas, sigue estos sencillos pasos.
Escribe la fórmula para hallar elvolumen de un prisma rectangular. La fórmula para hallar el volumen de un prisma rectangular es simplemente V = L x P x H, donde V = volumen, L = longitud, P = profundidad, y H = altura.
Anota la fórmula para hallar el volumen de un cilindro: La fórmula es V = πr2h. V representa el volumen, h representa la altura, y πr2 representa el área de la base circular.
Esto es lo mismo que calcular elvolumen multiplicando la base por la altura. En este caso, la base es circular (por eso πr2). Una forma más sencilla de plantear esta fórmula es V = B x H, donde B representa la base, o el área del círculo, y H representa la altura.
Calcular el área de una base circular. Para calcular el área de un círculo, simplemente tienes que emplear la fórmula A = πr2. La r representa el radio de la basecircular. Digamos que este cilindro particular tiene un radio de base de 4 m.
Para hallar el área de este círculo, simplemente sustituye r por 4 en la fórmula A = πr2 para obtener A = π x 16 m2. Usa la tecla π de tu calculadora para conseguir un resultado lo más preciso posible. Si no tienes calculadora, puedes usar 3.14, los primeros tres dígitos de π, pero no obtendrás un resultado tan preciso.Ej.: A = 16 m2 x π.
Ej.: A = 50.24 m2
Halla la altura. La altura del cilindro es la distancia vertical a lo largo de la cual se extiende la figura. Supongamos que la altura de este mismo cilindro es de 10 m. El área de su base será de 50.24 m2 y la altura será de 10 m.
Multiplica el área de la base por la altura. Simplemente utiliza la fórmula original empleando los datos que ya conoces V =πr2h. Recuerda que el área de la base es de 50.24 m2 y que la altura es de 10 m.
Ej.: V = 50.24 m2 x 10 m
Ej.: V = 502.4 m3
Cálculo de volúmenes
Al introducir la integración, vimos que el área es solamente una de las muchas aplicaciones de la integral definida. Otra aplicación importante la tenemos en su uso para calcular el volumen de un sólido tridimensional.
Si una región de un plano se giraalrededor de un eje E de ese mismo plano, se obtiene una región tridimensional llamada sólido de revolución generado por la región plana alrededor de lo que se conoce como eje de revolución. Este tipo de sólidos suele aparecer frecuentemente en ingeniería y en procesos de producción. Son ejemplos de sólidos de revolución: ejes, embudos, pilares, botellas y émbolos.
Existen distintas fórmulas parael volumen de revolución, según se tome un eje de giro paralelo al eje OX o al eje OY . Incluso a veces, es posible hallar el volumen de cuerpos que no son de revolución.
1. Volúmenes de revolución: El Método de los discos
Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El más simple de ellos es el cilindro circular recto o disco, que se forma al girar unrectángulo alrededor de un eje adyacente a uno de los lados del rectángulo. El volumen de este disco de radio R y de anchura es:
Volumen del disco =
Para ver cómo usar el volumen del disco para calcular el volumen de un sólido de revolucióngeneral, consideremos una función continua f (x ) definida en el intervalo [a,b], cuya gráfica determina con las rectas x = a, x = b, y = 0, el recinto R.Si giramos este recinto alrededor del eje OX , obtenemos un sólido de revolución.
Se trata de hallar el volumen de este cuerpo engendrado por R. Para ello hay que seguir un proceso similar al realizado en la definición de integral definida.
Elegimos una partición regular de [a, b]:
Estas divisiones determinan en el sólido n discos cuya suma se aproxima al volumen del mismo. Teniendo en cuenta...
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