CALCULO
Geraldine Cisneros
Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
3. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES MÚLTIPLES
En este capítulo se presentan algunas de las aplicaciones tanto físicas como
geométricas de las integrales múltiples, específicamente para las integrales dobles y
para las integrales triples.
3.1 APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES
Entre las aplicaciones de las integralesdobles, se tienen las
aplicaciones geométricas y las físicas. En el primer grupo se
encuentran: el cálculo del área de una figura plana y el cálculo de
volúmenes de sólidos en el espacio; entre las aplicaciones físicas
están el cálculo de: masa, momentos estáticos de figuras planas,
centros de masa y momentos de inercia para una región
bidimensional.
3.1.1. ÁREA DE UNA FIGURA PLANA
En elcapítulo 1 de este trabajo, se explicó el significado intrínseco
de la integral doble de una función f positiva en una región
bidimensional D,
∫∫ f ( x, y ) dA ,
D
como el volumen del sólido S
definido sobre la región D y bajo la gráfica de la función f . Ahora,
si se considera que f ( x, y ) = 1 , entonces la integral anterior queda
como:
∫∫ f ( x, y ) dA = ∫∫
D
D
dA(III.1)
Recuerde que la integral
doble
f ( x, y ) dA ,
Por lo tanto, empleando la definición de la integral doble, se tiene
también puede escribirse
como
que:
∫∫
D
n
m
Lim ∑∑ f ( xi* , y j* )∆Aij
P →0
i =1 j =1
∫∫
D
n
m
dA = Lim ∑∑ ∆Aij
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
P →0
i =1 j =1
(III.2)
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donde ∆Aij es el área del rectángulo genérico denotado Dij , el
cual puede observarse en la figura 3.1
y
xi
(xi*,yj*)
d = ym
yj
yj-1
Dij
D
yj
c = y0
a = x0
xi-1
xi
xn= b
x
Figura 3.1
Región D dividida en subrectángulos Dij
En otras palabras, la integral
∫∫
D
dA representa el volumen de unsólido de sección transversal constante, cuya base es la región D
y cuya altura es igual a la unidad. Para un sólido con estas
características, el volumen se obtiene como el producto del área
de la base y la altura del mismo.
A partir de todo lo anterior, se define el cálculo del área de una
región plana.
ÁREA DE UNA FIGURA PLANA
Sea D una región bidimensional D , tal que D ⊆
2
. Sea A elárea de la región D , entonces:
A = ∫∫ dxdy
D
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
(III.3)
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Recuerde que una región
D es de tipo 1 si se
cumple:
Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones
Observe que si la región D es de tipo 1, la ecuación anterior
queda como:
( x, y ) a ≤ x ≤ b ∧
D=
f ( x ) ≤ y ≤ g ( x )
A=∫
b
a
∫
g( x)
f ( x)
dydx = ∫
b
a
g ( x)
[ y ] f ( x ) dx
(III.3)
b
A = ∫ g ( x ) − f ( x ) dx
a
(III.4)
Donde la última integral, representa el área comprendida entre las
gráficas de y = f ( x ) y y = g ( x ) en el intervalo cerrado [ a,b ] . Esta
integral se estudia en la asignatura Análisis Matemático II, dentro
de las aplicaciones de laintegral definida.
EJEMPLO 3.1
Dibuje la región D y calcule su área, empleando las integrales
dobles:
∫∫
D
dxdy y
∫∫
D
dydx , D =
{ ( x, y ) x ≥ y
2
− 2y ∧
x ≤ 4 − y2
}
Solución:
La región D se encuentra acotada por las gráficas de las
parábolas horizontales x = y 2 − 2 y y x = 4 − y 2 , tal como se puede
observar en la siguiente figura.
Recuerde quela gráfica
de la ecuación:
x = y2 − 2 y
D
x = ay 2 + by + c
Es una parábola
horizontal
x = 4 − y2
Figura 3.2
Región
UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
D del ejemplo 3.2
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a) Para calcular el área de la región por medio de la integral doble
∫∫
D
dxdy , es necesario...
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