calculo

Profr. Efraín Soto Apolinar.

Productos notables
Cuando realizamos operaciones entre polinomios con el fin de resolver problemas, es muy frecuente encontrar algunas operaciones que por su naturaleza, aparecen en muchos fenómenos.
Debido a que las vamos a encontrar muy seguido, las llamamos productos notables, porque también, una vez identificado el tipo de producto, podemos decir el resultadode esa operación sin
necesidad de realizarla...
La realidad es que la memorizamos para no tener que desarrollar el producto cada vez que la
encontremos.
Cada uno de los productos notables tiene su nombre.
Productos notables
Los productos notables más comunes son:

( x + a )2 = x 2 + 2 a x + a2

(i) Binomio al cuadrado (suma).

( x − a )2 = x 2 − 2 a x + a2

(ii) Binomio al cuadrado(diferencia).

(iii) Producto de binomios con término común.
(iv) Producto conjugado.
(v) Binomio al cubo.

Definición
1

( x + a)( x + b) = x2 + ( a + b) x + a b

( x + a)( x − a) = x2 − a2
( x + a )3 = x 3 + 3 a x 2 + 3 a2 x + a3

Para entender los productos notables puedes imaginarlos como si se tratara de un molde.
Tú debes realizar lo que el molde dice, de acuerdo a los valoresque debes asignar a cada parte
del molde.
Calcula: (2 m + 7)2 =

Ejemplo 1

• Primero identificamos el producto notable con el que vamos a trabajar.
• En este caso se trata de un binomio que está elevado al cuadrado, es decir, el producto
notable (i).
• Es muy sencillo observar que podemos sustituir los valores de acuerdo a la fórmula:

( x + a )2 = ( x )2 + 2 ( a ) ( x ) + ( a )2
• Sisustituimos y luego realizamos los cálculos que quedan indicados, terminamos:

( x + a )2
(2 m + 7)2

= ( x )2 + 2 ( a ) ( x ) + ( a )2
= (2 m)2 + 2 (7)(2 m) + (7)2
= 4 m2 + 28 m + 49

• Esto significa que:

(2 m + 7)2 = 4 m2 + 28 m + 49

Calcula: (3 z − 4)2 =

Ejemplo 2

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• Sustituimos en la fórmula del productonotable correpondiente:

( x − a )2
3 z2 − 4

= ( x )2 − 2 ( a ) ( x ) + ( a )2

2

3 z2

=

2

− 2 (4) 3 z2 + (4)2

= 9 z4 − 24 z2 + 16
• Aunque, también pudimos haberlo calculado con el producto notable (i), considerando: a =
−4.

( x + a )2
3 z2 + (−4)

= ( x )2 + 2 ( a ) ( x ) + ( a )2

2

3 z2

=

2

+ 2 (−4) 3 z2 + (−4)2

= 9 z4 − 24 z2 + 16
• Así,podemos concluir que los productos notables (i) y (ii) son el mismo.

Algunas veces necesitarás elevar un binomio al cuadrado con coeficientes fraccionarios. El siguiente
ejemplo muestra uno de esos casos.
Ejemplo 3

Calcula:

1
x + 4 y2
2

2

=

• Empezamos identificando al producto notable que se trata: en este caso, es un binomio al
cuadrado.
• Ahora aplicamos la fórmula que lecorresponde:
1
x + 4 y2
2

2

=

1
x
2

2

+2

1
x · (4 y2 ) + 4 y2
2

2

• Ahora simplemente realizamos las operaciones que quedaron indicadas:
1
x
2

2

+2

1
x · 4 y2 + 4 y2
2

2

=

1 2
x + 4 x y2 + 16 y4
4

• Observa que hemos aplicado leyes de los exponentes.

Ahora estudiaremos el caso del producto de dos binomios con un término común. Empezamos
conun ejemplo muy sencillo.
Ejemplo 4

Calcula: ( x + 5)( x − 7) =
• Ahora tenemos que utilizar el producto notable:

( x + a)( x + b) = x2 + ( a + b) x + a b

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• En este caso, a = 5, y b = −7.

( x + a)( x + b) = x2 + ( a + b) x + a b
( x + 5)( x − 7) = x2 + (5 + (−7)) x + (5)(−7)
= x2 − 2 x − 35
• En conclusión,( x + 5)( x − 7) = x2 − 2 x − 35

Algunas veces, además de aplicar el producto notable que le corresponde a la operación que
estamos desarrollando debemos, además, aplicar las leyes de los exponentes.
Calcula: ( x3 + 1)( x3 + 5) =

Ejemplo 5

• Este producto también requiere del uso de la fórmula:

( x + a)( x + b) = x2 + ( a + b) x + a b
• Pero en este caso requiere además de la...