calculo

Superficies

MOISES VILLENA

3
3.1 SUPERFICIES CILINDRICAS
3.2 SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN
3.3 CUADRICAS
3.4 COORDENADAS CILÍNDRICA.
3.5 COORDENADAS ESFÉRICAS.

Objetivos.

Se persigue que el estudiante:
• Grafique Superficies Cilíndricas, de Revolución
y Cuádricas.

1

Superficies

MOISES VILLENA

Este capítulo está dedicado a conocer ciertos lugares geométricos de

R3

.

3.1 SUPERFICIES CILINDRICAS.
Sea C una
paralela a π
puntos que
intersecan a

curva de un plano π y sea l una recta no
. Se define Superficie Cilíndrica al conjunto de
perteneces a rectas paralelas a l y que
C.

A C se la denomina Curva Generatriz (o Directriz) y a l se la
denomina Recta Generatriz.
Las superficies Cilíndricas que trataremos aquí serán aquellas que
tienen laCurva Generatriz perteneciente a los planos coordenados y Rectas
Generatrices Paralelas a los ejes coordenados. Es decir, si tienen una de la
forma siguiente:

f ( x, y ) = 0 Curva Generatriz perteneciente al plano xy ,
Rectas Generatrices paralelas al eje z.

f ( x, z ) = 0 Curva Generatriz perteneciente al plano xz ,
Rectas Generatrices paralelas al eje y.

f ( y, z ) = 0 CurvaGeneratriz perteneciente al plano yz ,
Rectas Generatrices paralelas al eje x.
Ejemplo 1
Graficar y − x 2 = 0
SOLUCIÓN.
Se dibuja primero la curva y = x 2 en el plano xy y luego se trazan rectas paralelas al
eje z siguiendo esta curva.
z

y = x2

x

2

y

Superficies

MOISES VILLENA

Ejemplo 2
Graficar z − ln y = 0
SOLUCIÓN.
Se dibuja primero la curva z = ln y en el plano zy yluego se trazan rectas paralelas al
eje x siguiendo esta curva.
z

z = ln y

y

x

Ejemplo 3
Graficar z − seny = 0
SOLUCIÓN.
Se dibuja primero la curva z = seny en el plano zy y luego se trazan rectas paralelas al
eje x siguiendo esta curva.

3

Superficies

MOISES VILLENA

Ejemplo 4
Graficar z 2 + x 2 = 4
SOLUCIÓN.
Se dibuja primero la curva z 2 + x 2 = 4 en el plano zx yluego se trazan rectas
paralelas al eje y siguiendo esta curva.
z

z 2 + x2 = 4

y

Ejercicios Propuestos 3.1
1.

Bosqueje la superficie cilíndrica cuya ecuación se indica.
a)

4z 2 − y 2 = 4

d) x 2 = y 3

f) z − e y = 0

b)

z = sen y

e) y = z

g) y 2 + z 2 = 9

c)

y2 + z = 4

3.2 SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN
Las Superficies de Revolución que trataremos aquí sonaquellas que se
generan al girar 360º una curva perteneciente a uno de los planos coordenados
alrededor de uno de los ejes coordenados.
Por ejemplo suponga que se tiene la curva z = f ( y ) (contenida en el
plano ZY) y la hacemos girar 360º alrededor del eje y, entonces se forma una
superficie de revolución, observe la figura:

4

Superficies

MOISES VILLENA

z

r
r

y

xLa ecuación de la superficie de revolución se la deduce de la siguiente
manera
La sección transversal es circular, por tanto:

r=

(0 − 0)

2

+ ( y − y ) + ( f ( y) − 0) = f ( y)
2

2

Como también se observa que:

r=

(x − 0)

+ ( y − y ) + (z − 0) = x 2 + z 2

2

2

2

Entonces, igualando resulta:

x 2 + z 2 = [ f ( y )]

2

ECUACIÓN

DE UNA SUPERFICIE DEREVOLUCIÓN
CON CURVA GENERATRIZ x = f ( y ) (EN EL PLANO

xy )

O TAMBIÉN

z = f ( y ) (EN EL PLANO zy ),
y ”.

GIRADA ALREDEDOR DEL EJE “

A, x + z se le llama Binomio de Circularidad.
2

2

En cambio, si la curva generatriz anterior la hacemos girar alrededor del
eje z, obtendríamos otra superficie de revolución, observe la figura:

5

Superficies

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z(0,0, z )

r

r

( x, y , z )

(0, f ( z ), z )

y = f (z )

y

x

Aquí en cambio:

r=
Y también

r=

(0 − 0)

2

(x − 0)

2

+ ( f ( z ) − 0) + (z − z ) = f ( z )
2

2

+ ( y − 0) + (z − z ) = x 2 + y 2
2

2

Entonces, igualando resulta:

x 2 + y 2 = [ f ( z )]

2

ECUACIÓN DE UNA SUPERFICIE DE
REVOLUCIÓN CON CURVA GENERATRIZ
x = f (z ) (EN EL...