caLCULO

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Superficies Cuádricas

Superficies Cuadráticas
Definición:
Una superficie cuadrática (o cuàdrica ) es la gráfica de una ecuación de
segundo grado con tres variables x, y, z. La forma generalde la ecuación es:
Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Hy + Iz + J = 0

donde A, B, C, …, J son constantes.

1. Elipsoide.
Tiene por ecuación

x2
2

a

+

y2
2

b

+

z2
2c

=1

Las trazas del elipsoide son elipses,
es decir, la intersección con planos
paralelos a los planos coordenados es una elipse
x2 z2
Si y = 0 ⇒
+
= 1 elipse
a2 c2

2
x2 y
Si z =0 ⇒
+
= 1 elipse
a2 b2

y2 z2
Si x = 0 ⇒
+
= 1 elipse
b2 c2

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Superficies Cuádricas

2. Hiperboloide de una hoja.
Tiene por ecuación

x2
a2

+

y2
b2

−

z2
c2

=1Las
trazas
del
hiperboloide
son
hiperbolas en planos paralelos al plano XZ
y al YZ, mientras que en planos paralelos
al XY las trazas son elipses.

Si x = 0 ⇒

y2 z2
−
= 1 Hiperbola
b2 c2Si y = 0 ⇒

x2 z2
−
= 1 Hiperbola
2 c2
a

Si z = 0 ⇒

x2 y 2
+
= 1 Elipse
a2 b2

El eje por donde se abre el hiperboloide es por el eje cuya variable aparece en
la ecuaciónnegativa ( en este caso eje z). La diferencia fundamental entre el
hiiperboloide de una hoja y el elipsoide es que tiene una variable con signo
negativo.

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Superficies Cuádricas

3. Hiperboloide dedos hojas.
x2 y2 z2
Tiene por ecuación − 2 − 2 + 2 = 1
a
b
c
Las trazas de esta superficies son :
Para planos paralelos a XZ son hiperbolas
al igual que para planos paralelos al YZ.

z2 y2si x = 0 ⇒
−
= 1 hiperbola
c2 b2
z2 x2
si y = 0 ⇒
−
= 1 hiperbola
c2 a2

Se diferencia de las otras superficies ya que tiene dos variables negativas .

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Superficies Cuádricas

4.Paraboloides
x2 y2
−
= 1 imposible! ! ! ⇒ no hay gráfica
a2 b2
x2 y2 z
Tiene por ecuación 2 + 2 =
c
a
b
Las trazas del paraboloide son:
Para planos paralelos al XY son elipses, para
planos...