calculo

Cap´
ıtulo 1

Funciones y L´
ımites.
1.15.

C´lculo anal´
a
ıtico de l´
ımites.

Propiedades de los l´
ımites.
Se ha visto que el l´
ımite de f ÔxÕ cuando x tiende a c no depende del valor de f
en x c. Puede, no obstante, que este l´
ımite sea f ÔcÕ. En estos casos, se puede
evaluar el l´
ımite por sustituci´n directa.
o
l´ f ÔxÕ
ım

x

f ÔcÕ

c

, sustituir x por c.Las funciones con este ”buen comportamiento“ se dicen continuas en c.
Teorema 1: L´
ımites b´sicos.
a
Sean b y c n´meros reales y n un entero positivo
u
1. l´ b
ım

b

2. l´ x
ım

c

x

x

c
c

3. l´ xn
ım
x

c

cn

Ejemplo:
l´ 3
ım

x

2

3

,

¡4

l´ x
ım

x

¡4

l´ x2
ım

,

x

2

Ô 2 Õ2

4

Teorema 2: Propiedades de los l´ımites.
Sean b y c n´meros reales, n un entero positivo y f , g funciones con los
u
l´
ımites
l´ f ÔxÕ
ım

x

c

,

L

1. M´ltiplo escalar: l´ Öbf ÔxÕ×
u
ım
x

c

1

bL

l´ g ÔxÕ
ım

x

c

K

CAP´
ITULO 1. FUNCIONES Y L´
IMITES.

2

2. Suma o diferencia: l´ f ÔxÕ ¨ g ÔxÕ
ım
x

c

3. Producto: l´ Öf ÔxÕ ¤ g ÔxÕ×
ım
x

c

f ÔxÕ
g ÔxÕ

4.Cociente: l´
ım

c

x

L¤K

L
K

5. Potencias: l´ Öf ÔxÕ×n
ım
x

L¨K

Ln

c

Ejemplo:
Calcule el l´
ımite del polinomio 4x2   3 cuando x tiende a 2
La propiedad de sustituci´n directa es v´lida para todas las funciones poo
a
lin´micas y todas las racionales cuyos denominadores no se anulen en el punto
o
considerado.
Teorema 3: L´
ımites de funciones polin´micas yracionales.
o
Sea p una funci´n polin´mica y c un n´mero real, as´
o
o
u
ı:
1. l´ pÔxÕ
ım
x

c

p Ôc Õ

Sean rÔxÕ
ı:
q ÔcÕ 0, as´
2. l´ rÔxÕ
ım
x

c

ÔÕ
o
u
Ô Õ una funci´n racional y c un n´mero real tal que

p x
q x

p Ôc Õ
q ÔcÕ

Ejemplo:
Determinar

3x ¡ 4

¡1 6x   2

l´
ım

x

Teorema 4: L´
ımite de una funci´n radical.
o
Sea n un entero positivo. Elsiguiente l´
ımite es v´lido para todo c si n es
a
impar, y para todo c 0 si n es par:
l´
ım

x

n

c

x

n

c

Teorema 5: L´
ımite de una funci´n compuesta.
o
Si f y g son dos funciones tales que:
l´ g ÔxÕ
ım

x

L

c

y

l´ f ÔxÕ
ım

x

L

Entonces:
l´ f Ôg ÔxÕÕ
ım

x

c

f ÔLÕ

f ÔLÕ

´
1.16. ESTRATEGIA PARA EL CALCULO DE L´
IMITES.

3Se ha visto que los l´
ımites de muchas funciones algebraicas se pueden calcular
por sustituci´n directa. Cada una de las seis funciones trigonom´tricas b´sicas
o
e
a
tambi´n posee esta propiedad.
e
Teorema 6: L´
ımites de funciones trigonom´tricas.
e
Sea c un n´mero real en el dominio de la funci´n trigonom´trica dada
u
o
e
entonces:
1. l´ sinÔxÕ
ım
x

x

c

x

c

xc

x

c

x

sinÔcÕ

c

c

2. l´ cosÔxÕ
ım

cosÔcÕ

3. l´ tanÔxÕ
ım

tanÔcÕ

4. l´ cotÔxÕ
ım

cotÔcÕ

5. l´ secÔxÕ
ım

secÔcÕ

6. l´ cscÔxÕ
ım

cscÔcÕ

Ejemplo:
l´ tanÔxÕ
ım

x

tanÔ0Õ

0

0

Ejemplo:
l´ x cosÔxÕ
ım

x

π

l´ x ¤ l´ cosÔxÕ
ım
ım

x

π

x

π

π cosÔπ Õ

¡π

Ejemplo:
l´ Ösin2 ÔxÕ×
ım

x

1.16.

l´ÖsinÔxÕ×2
ım

x

0

0

Ô0Õ2

0

Estrategia para el c´lculo de l´
a
ımites.

Se han considerado diversos tipos de funciones cuyos l´
ımites pueden calcularse por sustituci´n directa; ello, en combinaci´n con el teorema siguiente
o
o
constituye una estrategia importante en la evaluaci´n de l´
o
ımites:
Teorema 7: Funciones que coinciden, salvo en un punto.
Sea c un n´mero realy sea f ÔxÕ g ÔxÕ para todo x c en un intervalo
u
abierto que contiene a c. Si existe el l´
ımite de g ÔxÕ cuando x tiende a c,
entonces tambi´n existe el l´
e
ımite de f ÔxÕ y:
l´ f ÔxÕ
ım

x

Ejemplo:
Hallar el l´
ımite

c

l´ g ÔxÕ
ım

x

c

CAP´
ITULO 1. FUNCIONES Y L´
IMITES.

4

l´ f ÔxÕ
ım

x

1

x3 ¡ 1
1 x¡1

l´
ım

x

Estrategia:
1....