Calculo

Universidad Metropolitana Castro Carazo
Prof. Victor Canales Muñoz
Calculo semana #3
La derivada de una función: f

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a) Atreves de lafunción de límite :
La derivada de una función “f” en un número a, denotada con 𝑓′(𝑎), es:
𝒇(𝒂 + 𝒉) − 𝒇(𝒂)
𝒇′(𝒂) = 𝐥𝐢𝐦
, 𝒔𝒊 𝒆𝒔𝒕𝒆 𝒍𝒊𝒎𝒊𝒕𝒆 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆 .
𝒏→𝟎
𝒉
Dado cualquier número x para el cual estelímite exista, asignamos a x el
número 𝑓′(𝑥). De modo que podemos considerar 𝑓′ como una nueva
función, llamada derivada de f y definida por medio de la ecuación anterior.
Sabemos que el valor f’ enx, 𝑓′(𝑥), se puede interpretar geométricamente
como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (x, f(x)).
La función f se conoce como derivada de f, porque se ha derivado de fpor
medio de la operación de hallar el límite en la ecuación anterior.
Ejemplo 1. Encuentre la derivada de la función f (x)=𝑥 2 + 5𝑥 − 1 ; a partir de
la definición de límites:
𝑓′(𝑎) = lim

ℎ→0𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ

[(𝑥 + ℎ)2 + 5(𝑥 + ℎ) − 1] − [𝑥 2 + 5𝑥 − 1]
ℎ→0
ℎ
lim

[𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 + 5𝑥 + 5ℎ − 1] − [𝑥 2 + 5𝑥 − 1]
ℎ→0
ℎ
lim

𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 + 5𝑥 + 5ℎ − 1 − 𝑥 2 − 5𝑥 + 1
lim
ℎ→0ℎ

2𝑥ℎ + ℎ2 − 5ℎ
: sacando h a factor común
ℎ→0
ℎ
lim

ℎ(2𝑥 + ℎ + 5)
= 2𝑥 + 5
ℎ→0
ℎ
lim

Ejemplo 2: 𝑠𝑖 𝑓(𝑥) = 6𝑥 + 1; 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒 𝑓′(𝑥)
𝑓 ′(𝑥) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥))
ℎ

6(𝑥+ ℎ) + 1 − (6𝑥 + 1)
ℎ→0
ℎ
lim

6𝑥 + 6ℎ + 1 − 6𝑥 − 1
ℎ→0
ℎ
lim

6ℎ
=6
ℎ→0 ℎ
lim

Nota: 𝑓(𝑥) = 6𝑥 + 1; es una función lineal; la derivada de f es 6; que es
precisamente la pendiente dela función; por tal motivo es que antes se dijo
que, la pendiente se puede interpretar geométricamente, como la pendiente
de la recta.
Reglas básicas de derivación:
a) La derivada de una constantees “o” ejemplo si
𝑓(𝑥) = 5; 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∶ 𝑓 ′ (𝑥) = 0
b) Regla de la potencia : si 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛 ; 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑛 ∗ 𝑥 𝑛−1
Nota: esta regla se puede aplicar para encontrar la derivada de la función sin...