Calculo


Unidad I. La Problemática
Tema 1.3 Cálculo del valor exacto del cambio acumulado. Modelo Polinomial
Situación Problema 1.3: En un tanque vacío se introduce agua de tal modo que la razón de cambio del volumen de agua con respecto al tiempo se comporta de acuerdo a la función r(t) = 2t litros/min (la razón de cambio es proporcional al tiempo). En esta situación, el cambioacumulado del volumen en cada intervalo del tipo [0,1], [0,2], [0,3] y en general [0, t], coincide con el valor del volumen v a los 1, 2, 3, y en general, t minutos.


a) Utiliza una hoja de cálculo para aproximar el valor del volumen que se registra en el tanque a medida que pasa el tiempo en los primeros 10 minutos y considerando intervalos de tiempo ∆t = 1 minuto. El valor de la razón de cambio quemantendrás constante se elige en el extremo izquierdo de cada intervalo. Muestra los valores en la siguiente tabla:


t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Aproximación
v(t)















b) Mejora los cálculos del archivo que hemos generado utilizando en intervalo de tiempo ∆t = 0.1 minuto. De este modo, los valores del volumen en los tiempos señalados en la tabla,son el resultado dse acumular el cambio del volumen calculado en 10 subintervalos más pequeños comprendidos entre el 0 y el 1, el 1 y 2, el 2 y 3 y así sucesivamente. Registra los valores en la siguiente tabla:


t
r(t)
r(t) ∆t
Aproximación
v(t)
∆t
0
0
0.00
Volumen inicial = 0
0.1
.
.
.
.

.
.
.
.

10
20
2.00
99.00





c) Realiza una última mejora en la hoja decálculo utilizando un intervalo de tiempo ∆t = 0.01 y registra los valores en la siguiente tabla:

t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Aproximación
v(t)













d) Utiliza ahora la hoja de cálculo para que canceles los decimales de tal modo que obtengas los valores redondeados a enteros, simulando con ellos un proceso de aproximación cada vez mejor, a un grado tal quela tendencia de los valores sea el estabilizarse en esos enteros. Registra los valores en la tabla de abajo y obsrva su relación con el correspondiente t, tratando de identificar un patrón de comportamiento entre los valores de t y los de v(t).

t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Aproximación
v(t)













e) La función v(t) que hemos reconocido representa laposibilidad de un proceso de mejora llevado a sus últimas consecuencias, de tal modo que puede compactarse en una expresión algebraica.


f) Supongamos que en tanque inicialmente hay 25 litros de agua y que aparte de la llave que aumenta el volumen a razón de r(t) =2t una segunda llave esta introduciendo agua también, pero a razón constante de 3 litros por minuto. ¿Cuál seria la función que modela elcomportamiento del volumen de agua en el tanque a los t minutos?











1.3 Problema Complementario
Tema 1.3 Cálculo del valor exacto del cambio acumulado. Modelo Polinomial.

a) Genera una hoja de cálculo en la que desarrolles el procedimiento númerico que hemos realizado para calcular ahora el valor aproximado del cambio acumulado de una magnitud M que depende de la magnitudx y cuya razón de cambio esta modelada mediante la función r(x) = 3x2 . Observa que, nuevamente en este caso, siendo la razón de cambio positiva, el cambio acumulado de la magnitud [0, x] coincide con el valor de la magnitud en x.

En el archivo debes considerar el valor inicial cero y abarcar los valores de x desde 0 hasta 10 y considerar la longitud del intervalo ∆x = 0.01 de tal modo quepuedas identificar un comportamiento de los valores de la magnitud M relacionando con los valores de x. Completa la siguiente tabla y conjetura cuál función modela el comportamiento de la magnitud.


x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
M(x)













Una ventaja adicional del recurso de la hoja de cálculo es que nos permite aprovechar el documento que ya hemos armado...