calculo

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Suponga que se tiene una región plana y que se la hace girar
con respecto a un determinado eje, esta situación provoca que se

genere lo que se llama SÖLIDO DE REVOLUCIÓN.

Enprimera instancia generalicemos 3 situaciones que se presentan.

CASO I. Suponga que se tiene una región plana simple-x, como la que se muestra en la figura. Al girar la región con respecto al eje"x" se formará un sólido de revolución:




El volumen de este sólido de revolución se lo puede calcular de la siguiente manera:

Primero: se determina el volumen del sólido diferencial quese forma al girar el elemento diferencial representativo en torno al eje indicado.








Resumen de fórmulas:




















Ejemplo 1:
Calcular el volumendel sólido generado al hacer girar la región limitada por la gráfica f(x) = √(3x-x^2 ) , el eje x, en torno al eje x.














Ejemplo 2:
Calcular el volumen del sólidogenerado al girar la región limitada por f(x)= 2- x2 y g(x) =1 en torno a la recta y=1.
















CASO II. Suponga ahora que la región plana fuese como la que se sombrea en lafigura. Al girar la región alrededor del eje "x" se genera un sólido de revolución de la siguiente forma:






Primero: El sólido diferencial que se genera al rotar el elemento diferencialalrededor del eje "x", para cada partición tiene la forma de un ANILLO






El volumen del sólido diferencial estaría dado por:

dV = π[r 2

−r 1

2 ]dx



pero observe que:r2 = f ( x)

y r1 = g ( x)

entonces:

dV = π[( f ( x) )2

− (g ( x) )2 ]dx .


Ejemplo 3.
Calcular el volumen del sólido generado al hacer girar la región limitada por lasfunciones y= x2 + 1 , y= x + 3, si gira alrededor del eje x.


















Observación:
El cuadrado de un trinomio se determina con la siguiente regla:

(a+b+c)^2=...