Calculo

Cálculo Vectorial
Julio C. Carrillo E.*

Índice
1. Campos vectoriales 1.1. De…nición de campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Campos vectoriales conservativos, divergencia y rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Trayectorias de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.Cálculo vectorial en el plano 2.1. Curvas algebraicas y paramétricas en el plano . . . . . . . . 2.2. Regiones en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Campos vectoriales en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Integral de línea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Integral de línea de un campo escalar . . . . . . . . 2.4.2. Integral de línea con respecto alos ejes coordenados 2.4.3. Integral de línea de un campo vectorial . . . . . . . 2.4.4. Teorema de Green en el plano . . . . . . . . . . . . . 2.4.5. Campos conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.6. Integral de línea y circulación . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 3 4 4 5 6 6 6 6 7 7 8 9 10 11 11 15 15 15 16 16 16 17 17 18 21 22 22 24 25 25 26

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .. .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

3.Cálculo vectorial en el espacio 3.1. Curvas algebraicas y paramétricas en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Super…cies algebraicas y paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Regiones sólidas en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Campos vectoriales en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Integral de línea . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1. Integral de línea de un campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2. Integral de línea con respecto a los ejes coordenados . . . . . . . . 3.5.3. Integral de línea de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Integral de super…cie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1. Área e integral desuper…cie de un campo escalar . . . . . . . . . . 3.6.2. Integral de super…cie de un campo vectorial y ‡ a través de una ujo 3.6.3. Flujo de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. Teorema del rotacional y la divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.1. Teorema del rotacional de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.2. Teorema de la divergencia deGauss . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8. Aplicaciones a la física y las ecuaciones en derivadas parciales . . . . . . . 3.8.1. Ecuaciones en derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.2. Condiciones de frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
* Escuela

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . super…cie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

de Matemáticas, UIS. E-Mail: jccarril@uis.edu.co

1

2

Para uso exclusivo en elsalón de clase –UIS

1.
1.1.

Campos vectoriales
De…nición de campo vectorial

Un campo vectorial es una función con dominio en Rn e imagen en Rn . Un campo vectorial puede depender o no del tiempo. Un campo vectorial estable, o en estado estable, es un campo vectorial que no depende del tiempo (i.e., su magnitud y dirección no dependen del tiempo). Un campo vectorial no estable, o en...