Calculo

Cap´ ıtulo 5

C´lculo elemental de l´ a ımites. . .
Vamos a dedicar este cap´ ıtulo a tratar de mejorar nuestra relaci´n con los l´ o ımites, desarrollando el m´todo que ya hemos anunciado, que nos permitir´ calcular el l´ e a ımite y demostrar a la vez que ese c´lculo a es correcto. Este cap´ ıtulo es necesaria e inevitablemente t´cnico. Pero no parece haber alternativa: si e queremos sercapaces de calcular derivadas, necesitamos este lenguaje y estos resultados. Animamos al lector a que tenga paciencia, con la promesa de que el esfuerzo tendr´ su recompensa en posteriores a cap´ ıtulos.

5.1.

Operaciones elementales con l´ ımites

a ıa La idea es f´cil de entender. La mayor´ de las funciones que encontraremos se construyen haciendo operaciones a partir de funcioneselementales. Ejemplo 5.1.1. Consideremos una funci´n, tal como: o 3x2 + sen x x3 − cos ln x

f (x) =

Esta funci´n puede obtenerse a partir de varias piezas m´s sencillas, funciones elementales como son o a x, sen x, cos x, ln x

Y esas funciones sencillas se combinan mediante operaciones. Por ejemplo, en el numerador, 3x2 se obtiene de x con la operaci´n de multiplicaci´n as´ o o ı: 3x2 = 3 · x · x Ya partir de 3x2 y sen x el numerador se obtiene con la operaci´n suma. o

Lo que queremos hacer es estudiar c´mo se comportan los l´ o ımites cuando las funciones se combinan mediante esas operaciones, el producto, la suma, el cociente, la composici´n, etc.Y adem´s tendremos que o a estudiar como se comportan al pasar al l´ ımite las funciones elementales que utilizamos como piezas b´sicas a dela construcci´n: las potencias de x, las funciones trigonom´tricas, las exponenciales y logaritmos, o e etc´tera. e Empezaremos esta tarea por las operaciones aritm´ticas y las funciones m´s sencillas. e a 35

5.1.1.

L´ ımites de sumas y productos. Polinomios. L´ ımite de cocientes sencillos.

El primer resultado te´rico es tan sencillo que realmente casi parece que no hay nada quedemostrar o aqu´ ı. Teorema 5.1.2 (L´ ımite de sumas y productos).  Si se cumple   l´ f (x) = A, y l´ g(x) = B, ım ım  x→x0 x→x0    entonces tambi´n se tiene: e   ım l´ (f (x) + g(x)) = A + B, y l´ (f (x)g(x)) = AB. ım 
x→x0 x→x0

En lenguaje informal, lo unico que dice este teorema es que si, para x cerca de x0 , el valor de la funci´n ´ o f (x) se parece mucho a A y el de g(x) a B,entonces la suma ¡qu´ remedio! se parece mucho a A + B, y e el producto se parece mucho a AB. A pesar de lo sencillo y evidente que es esto, es una buena idea que el lector interesado trate de construir una demostraci´n formal de este teorema. Dejamos esa demostraci´n para los ejercicios del o o curso. La funci´n f (x) = x, tiene evidentemente la propiedad de que: o
x→x0

l´ f (x) = l´ x = x0 ım ımx→x0

Es decir, f (x) = x es continua en x0 , sea cual sea x0 . Abreviamos esto diciendo que f (x) es continua en todo R. De aqu´ se deduce, usando el teorema que acabamos de ver, que, puesto que x2 = x · x, tambi´n se ı e cumple el siguiente resultado: l´ x2 = x2 ım 0
x→x0

Es decir, f (x) = x2 define una funci´n continua en todo R. Y lo mismo sucede en general con todas las o potenciasnaturales x3 , x4 , etc´tera1 . e Adem´s es evidente que todas las funciones constantes son igualmente continuas en todo R. Y por a tanto, usando de nuevo nuestro teorema, todas las funciones de la forma f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 es decir, todos los polinomios en x, son funciones continuas en todo R sean cuales sean los coeficientes an , . . . , a0 del polinomio. Ejemplo 5.1.3. Quiz´convenga detenerse un momento en este punto. Hab´ a ıamos dicho que los resultados que estamos obteniendo permiten calcular y demostrar la vez. Veamos que, en efecto, es as´ la continuidad ı: de los polinomios nos permite responder a preguntas como esta:
x→2

l´ 4x3 − 2x2 + x − 1 =?? ım

Porque la continuidad del polinomio nos garantiza que el l´ ımite es precisamente el valor del...