Calculo

MATEMÁTICAS II

Universidad Simón Bolívar
Departamento de Matemáticas Puras y Aplicadas Enero de 1998

Este libro es la continuación del texto Matemáticas I y ha contado con la colaboración de muchos profesores en las distintas etapas del mismo. Esta es una reedición de la Guía de MA1112 (1997). Se hicieron algunas correcciones y se agregaron ejercicios. Se agregó el capítulo de IntegralesImpropias el cual estuvo a cargo del profesor Alberto Mendoza. Los redactores de otros capítulos desde la primera edición son: María R. Brito, Julio Cano, Luis Mata, Reinaldo Giudici, Enrique Planchart y Lázaro Recht. Los ejercicios agregados se tomaron de otras guías publicadas en el Departamento. Los preparadores Yolanda Perdomo y Sebastian García colaboraron en el montaje de los ejercicios. Elarte final estuvo a cargo de los profesores Alberto Mendoza y Luis Mata.

Índice General
15 Primitivas 15.1 Definición, primitivas de una función 15.2 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . 15.2.1 Respuestas a los ejercicios . 15.3 El cálculo de primitivas . . . . . . . . 15.4 Propiedades de las primitivas . . . . 15.4.1 Linealidad de las primitivas . 15.4.2 Cambio de variables . . . . .15.4.3 Primitivas por partes . . . . . 15.5 Algunos ejercicios . . . . . . . . . . 253 253 257 258 261 263 263 264 264 265 267 267 267 271 276 278 282 282 283 284 286 290 298 298 301 311 311 311 313 315 315 316 318

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16 Integración 16.1 La Definición de Darboux de la Integral de Riemman . . . . . . . . . . . 16.1.1 Preliminares acerca de particiones . . . . . . . . . . . . . . . . .16.2 Sumas superiores e inferiores de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2.1 Propiedades básicas de las sumas de Darboux . . . . . . . . . . 16.3 La integral superior y la integral inferior de Darboux . . . . . . . . . . . 16.4 Propiedades de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.4.1 Monotonía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16.4.2 Subaditividad y aditividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.4.3 Homogeneidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.4.4 Propiedad aditiva de intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.5 La integral como función del extremo superior (del intervalo de integración) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.6 Apéndice .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.6.1 La Definición de Riemann de la Integral . . . . . . . . . . . . . . 16.7 Ejercicios adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 La Función Logaritmo 17.1 Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.2 Propiedades de la función Logaritmo Natural 17.3 La gráfica del f (x) = ln(x) . . . . . .. . . . 17.4 El número e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.5 Derivación logarítmica . . . . . . . . . . . . . 17.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.7 Ejercicios adicionales . . . . . . . . . . . . .

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ii 18 La Función Exponencial 18.1 La Función Exponencial Natural . . . . . . . . 18.2 Propiedades de la función Exponencial Natural 18.3 La gráfica de ex : . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.4 Otra definición del número e: . . . . . . . . . . 18.5 Funciones exponenciales generales . . . . . . 18.6 Funciones...