calculo

3.- Superficies cuádricas
En IR3, una superficie cuádrica corresponde a la gráfica de una ecuación de segundo grado,
de la forma:
AX2 + BY2 + CZ2 + DXY + EXZ + FYZ + GX + HY + IZ +J = 0;
Hayseis tipos básicos de superficies cuádricas: elipsoide, hiperboloide de una hoja,
hiperboloide de dos hojas, cono elíptico, paraboloide elíptico, y paraboloide hiperbólico.
Estas superficies secaracterizan porque sus trazas en cada uno de los planos coordenados
corresponden a secciones cónicas.
3.1 - Formas canónicas de las superficies cuádricas
( Centro en el origen y ejes de simetríascoincidiendo con ejes coordenados)
1) ELIPSOIDE:

x2 + y2 + z2 = 1;
a2 b2 c2
(Si a = b = c se tiene una esfera)
Ecuación canónica

Gráfico

2) HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA: Ecuación canónica x2 + y2 -z2 = 1;
(El signo - indica el eje de simetría)
a2 b2 c2
Gráfico:

3) HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS: Ecuación canónica
(El signo + indica el eje de simetría)

19

z2 - x2 - y2 = 1;
c2 a2 b2Gráfico:

4) CONO ELÍPTICO. Ecuación canónica
x2 + y2 - z2 = 0;
(El signo - indica el eje de simetría)
a2 b2 c2
Nota: a = b cono circular
Gráfico:

5) PARABOLOIDE ELÍPTICO:

Ecuacióncanónica

z = x2 + y2 ;
a2 b2

Gráfico:

6) PARABOLOIDE HIPERBÓLICO :

Ecuación canónica

Gráfico:

20

z = y2 - x2 ;
a2 b2


Otras superficies cuádricas son los cilindros.
Definiciónde cilindro: Sea C una curva en el plano y L una recta no contenida en ese
plano. El conjunto de todas las rectas paralelas a L que intersectan a C, forman un cilindro
C se llama curva generatriz odirectriz y las rectas se llaman generatrices.
Ecuación de un cilindro: En el espacio, la gráfica de una ecuación de 2º grado en dos de
las variables x, y, z es un cilindro cuyas generatrices sonparalelas al eje de la variable que
falta.
A continuación ilustramos tres tipos de cilindros:
x2 + y2 = 4

x2 y2
+
=1
16 4

x2 y2
−
=1
16 9

21


3.2 - Gráfica de una superficie...