CALCULO

Cálculo diferencial
El cálculo diferencial estudia los incrementos en las variables. Sean x e y dos variables relacionadas por la ecuación y = f(x), en donde la función f expresa la dependencia del valor de y con los valores de x. Por ejemplo, x puede ser tiempo e y la distancia recorrida por un objeto en movimiento en el tiempo x. Un pequeño incremento h en la x, de un valor x0 a x0+h, produce un incremento k en la y que pasa de y0 = f(x0) a y0 + k = f(x0 + h), por lo que k =f(x0 + h) - f(x0). El cociente k/h representa el incremento medio de la y cuando la x varía dex0 a x0 + h. La gráfica de la función y = f(x) es una curva en el plano xy y k/h es la pendiente de la recta AB entre los puntos A = (x0,y0) y B = (x0 + h, y0 + k) en esta curva; esto se muestra en la figura 1, endonde h = AC y k = CB, así es que k/h es la tangente del ánguloBAC.
Si h tiende hacia 0, para un x0 fijo, entonces k/h se aproxima al cambio instantáneo de la y en x0; geométricamente, B se acerca a A a lo largo de la curva y = f(x), y la recta AB tiende hacia la tangente a la curva, AT, en el punto A. Por esto, k/h tiende hacia la pendiente de la tangente (y por tanto de la curva) en A. Así, se definela derivada f'(x0) de la función y = f(x) en x0 como el límite que toma k/h cuando h tiende hacia cero, lo que se escribe:
Este valor representa la magnitud de la variación de y y la pendiente de la curva en A. Cuando, por ejemplo, x es el tiempo e y es la distancia, la derivada representa la velocidad instantánea. Valores positivos, negativos y nulos de f'(x0) indican que f(x) crece, decrece oes estacionaria respectivamente en x0. La derivada de una función es a su vez otra función f'(x) de x, que a veces se escribe como dy/dx, df/dx o Df. Por ejemplo, si y = f(x) = x2 (parábola), entonces
por lo que k/h = 2x0 + h, que tiende hacia 2x0 cuando h tiende hacia 0. La pendiente de la curva cuando x = x0 es por tanto 2x0, y la derivada de f(x) = x2 es f'(x) = 2x. De manera similar,la derivada de xm es mxm-1 para una m constante. Las derivadas de las funciones más corrientes son bien conocidas (véase la tabla adjunta con algunos ejemplos).
Para calcular la derivada de una función, hay que tener en cuenta unos cuantos detalles: primero, se debe tomar una h muy pequeña (positiva o negativa), pero siempre distinta de cero. Segundo, no toda función f tiene una derivada en todas las x0,pues k/h puede no tener un límite cuando h 0; por ejemplo, f(x) = |x| no tiene derivada en x0 = 0, pues k/h es 1 o -1 según que h > 0 o h < 0; geométricamente, la curva tiene un vértice (y por tanto no tiene tangente) en A = (0,0). Tercero, aunque la notación dy/dx sugiere el cociente de dos números dy y dx (que indican cambios infinitesimales en y y x) es en realidad un solo número, el límite de k/h cuandoambas cantidades tienden hacia cero.
Diferenciación es el proceso de calcular derivadas. Si una función f se forma al combinar dos funciones u y v, su derivada f' se puede obtener a partir de u, v y sus respectivas derivadas utilizando reglas sencillas. Por ejemplo, la derivada de la suma es la suma de las derivadas, es decir, si f = u + v (lo que significa que f(x) = u(x) + v(x) para todaslas x) entonces f' = u' + v'. Una regla similar se aplica para la diferencia: (u - v)' = u' -v'. Si una función se multiplica por una constante, su derivada queda multiplicada por dicha constante, es decir, (cu)' = cu' para cualquier constante c. Las reglas para productos y cocientes son más complicadas: si f = uv entonces f' = uv' + u'v, y si f = u/v entonces f'= (u'v-uv')/v2 siempre que v(x) 0.Utilizando estas reglas se pueden derivar funciones complicadas; por ejemplo, las derivadas de x2 y x5 son 2x y 5x4, por lo que la derivada de la función 3x2 - 4x5 es (3x2 - 4x5)' = (3x2)' - (4x5)' = 3·(x2)' - 4·(x5)' = 3·(2x) - 4·(5 x4) = 6x - 20x4. En general, la derivada de un polinomio cualquiera f(x) = a0 + a1x + ... + anxn es f'(x) = a1 + 2a2x + ... + nanxn-1; como caso particular,...