Calculo

Capítulo 1

Solución Numérica de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Los sistemas de ecuaciones lineales surgen en casi cualquier aspecto de las matemáticas aplicadas, también pueden ser el resultado de aproximaciones a ecuaciones no lineales o de la aproximación de ecuaciones diferenciales a través de ecuaciones algebráicas, de manera que la eciencia y la exactitud de la solución de sistemas deecuaciones lineales tiene gran importancia en los métodos numéricos que resuelven una gran variedad de problemas computacionales. La notación matriz-vector de un sistema de ecuaciones lineales tiene la forma
Ax = b

donde A es una matriz mxn, b es un vector de longitud m y x es el vector de incognitas de longitud n. Decimos que este sistema tiene solución si el vector b puede ser escrito comocombinación lineal de las columnas de A. También puede suceder que este sistema no tenga solución o que tenga innitas

soluciones. Por el momento consideraremos sólo el caso en el que el sistema tiene la misma cantidad de ecuaciones que de incognitas, lo que genera que la matriz asociada sea cuadrada es decir A es nxn. Recordemos algunos de los conceptos básicos del algebra matricial.Denición: Matriz Inversa

Sea A una matriz nxn . Se dice que B es la inversa de A si y solo si AB = BA = I .

Denición: Matriz Singular
Una matriz cuadrada A se dice singular si se cumple una de las siguientes propiedades equivalentes: 1. A no posee inversa (no existe B tal que AB = BA = I ) 2. det(A)=0 3. rang(A)
j=1

aij j = i 1 ≤ i ≤ n

Denición: Matriz Positiva Denida

Se dice que lamatriz A es positiva denida si
xt Ax > 0, ∀x = 0

. Ejemplo: Sea A =
x = 0. x1 x2 3 2 2 3

3 2

2 3 x1 x2

vericamos si es o no positiva denida siendo xt =
= [3x1 + 2x2 , 2x1 + 3x2 ] x1 x2

x1

x2 tal que

= 3x2 + 4x1 x2 + 3x2 = x2 + (2x2 + 1 2 1 1

4x1 x2 + 2x2 ) + x2 = 2 2 2(x2 + 2x1 x2 + x2 ) + x2 + x2 = 2(x1 + x2 )2 + x2 + x2 > 0 1 2 1 2 1 2

Algunos sistemas sencillosde resolver

1. Consideremos que A = I en este caso la solución del sistema viene dada por x = b. 2. Sea A = D (esto es A matriz diagonal) En este caso la solución viene dada por xi = bi /aii 3. Sea A una matriz triangular superior En este caso la solución viene dada de la siguiente manera:
xn = bn /ann n xi = (bi − j=i+1 xj aij )/aii

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SOLUCIÓN NUMÉRICA DE SISTEMAS DEECUACIONES LINEALES

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4. Sea A una matriz triangular inferior En este caso la solución viene dada de la siguiente manera:
x1 = b1 /a11 xi = (bi −
i−1 j=1

xj aij )/aii

Para resolver un sistema lineal la estrategia general sugiere que se debe transformar el sistema en uno cuya solución es la misma que del original pero más fácil de calcular. Una manera de hacerlo es premultiplicar el sistemapor una matriz no singular M y hacer esto no afecta la solución, de esta forma la solución del sistema M Ax = M b viene dada por: x = (M A)−1 M b = A−1 M −1 M b = A−1 b que es la misma solución del sistema original. Dos sistemas de ecuaciones Ax = b y Bx = d se dicen equivalentes si tienen la misma solución. Por lo tanto esto nos lleva a pensar que para resolver un sistema de ecuaciones lotransformamos a través de ciertas operaciones elementales en un sistema equivalente pero más sencillo. Las operaciones elementales por la (o.e.f) son: 1. fi ←→ fj o.e.f de tipo 1. 2. fi ← λfi λ ∈ R o.e.f de tipo 2 3. fj ← λfi + fj
λ ∈ R o.e.f de tipo 3

Denición: Sistemas equivalentes

Teorema: Si un sistema de ecuaciones

Bx = d se obtiene a partir de otro Ax = b aplicando una cantidad nita deoperaciones elementales por la entonces estos sistemas son equivalentes. Demostración: Aplicar una operación elemental por la a la matriz A es equivalente a pre-multiplicar A por una matriz elemental E (Las matrices elementales son aquellas que se obtienen a partir de una única operación elemental de matrices sobre la matriz identidad además se puede asegurar que las matrices elementales...