Calculo

Cálculo
Numérico

Ramón Medina

1

Contenido
Capítulo 1: Ajuste de Curvas .......................................................................................................................................... 3
Introducción ...................................................................................................................................................... 3Regresión Lineal .................................................................................................................................................. 3
Ajuste de una Recta utilizando Mínimos Cuadrados ................................................................................ 4
Ejemplo 1.1................................................................................................................................... 4
Cuantificación del Error en la Regresión Lineal ........................................................................................ 5
Ejemplo 1.2 ................................................................................................................................... 6
Ajuste de Curvas con Polinomios de Orden Superior.......................................................................................... 6
Ejemplo 1.3 ................................................................................................................................... 7
Ajuste de Curvas mediante una Combinación Lineal de Funciones .................................................................... 8
Ejemplo 1.4................................................................................................................................... 9
Referencias Bibliográficas............................................................................................................................................. 10

2

1
Ajuste de Curvas
Introducción
Los datos que se obtienen mediante mediciones fluctúan debido a erroresaleatorios del
sistema de medición aplicado al comportamiento intrínsecamente estocástico del
sistema en observación (ver figura 1). Si a partir de la información obtenida se desea
caracterizar el comportamiento del fenómeno observado, la estrategia más apropiada
es la de obtener una función aproximada que se ajuste “adecuadamente” al
comportamiento o tendencia general de los datos, sin coincidirnecesariamente con
cada punto en particular.

2,5

2,5

2

2

1,5

1,5

1

1

0,5

0,5

0

0

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

Figura 1 – Muestra de datos con error significativo y ajuste polinomial

En el caso que se muestra en la figura 1, el ajuste es realizado mediante una recta que
tienen como propiedad, minimizar la sumade los cuadrados de los residuos.

Regresión Lineal
El ejemplo más simple de una aproximación por mínimos cuadrados es el ajuste de una
línea recta a un conjunto de parejas de datos observados (x1,y1), (x2,y2),…, (xn,yn). La
expresión matemática de la recta es:
y=a0+a1x+E

[1.1]

3

donde a0 y a1 son coeficientes que representan la intersección con el eje de las
abscisas y lapendiente respectivamente, y E es el error o residuo entre el modelo y las
observaciones, que se puede representar reorientando la ecuación (1.1) como:
E= y - a0 - a1x

[1.2]

Por lo tanto, el error es la diferencia entre el valor real y el aproximado predicho por la
ecuación lineal.
Ajuste de una Recta utilizando Mínimos Cuadrados
Esta estrategia de regresión lineal consiste en minimizar lasuma de los cuadrad os de
los errores:
L

L

Sr   Ei   y i  a0  a1x i 
2

i 1

2

[1.3]

i 1

Derivando la ecuación (1.3) con respecto a cada uno de los coeficientes se obtiene:
n
Sr
 2  y i  a0  a1x 
a0
i 1

[1.4]

n
S r
 2  yi  a0  a1 xi xi 
a1
i 1
[1.5]

Igualando las derivadas a cero (para minimizar) y resolviendo el sistema de...