Calculo

(1) La cantida N(t) de supermercados que emplean cajas computarizadas en un pais esta definada por el problema de valor inicial:
dNdt=N1-0.0005N. N0=1
(a) Aplique el concepto deretrato fase, de la seccion 2.1, para pronosticar cuatos supermercados se espera adopten el nuevom procedimiento a largo plazo.
Traze a mano una curva solucion para ese problema de valor inicial.Resolviendo
N1-0.0005N=0
para N encontramos las soluciones equilibradas N=0 , N=2000
Cuando 0<N<2000,dNdt>0.
Del retrato fase podemos ver que Lim t ͢ ∞ N(t)=2000
dNdt=N(1-0.0005N)(b) Rasuelva el problema de valor inicial y a continuacion use una graficadora para comprobarla curva solucion de la parte (A). ¿Cuántos supermercados se espera adopten la nueva tecnologia cuandot=10?

Separando variables e integrando obtenemos
dNN(1-0.0005)=dt dt=1NdN-1N-2000 dN
Resolviendo tenemos :
lnN-lnN-2000=t+c
lnNN-2000=t+c
Despejando N
NN-2000= et+c
Nt=2000ec+t1+ec+t=2000ecet1+ecct
Usando N(0)=1 y resolviendo para ec=1/1999y asi
Nt=2000et1999+et

Finalmente usando N(10) haciendo la division optenemos que el resultado es 1834 compañias adoptaran la nuevatecnologia en t=10
(3) El modelo demografico P(t) de un suburbio en una gran ciudad esta descrito con el problema de valor inicial 10-1
dPdt =P 10-1 - 10-7 P , P0=5000
en donde t se expresa enmeses .¿ Cual es el valor limite de la poblacion?, ¿Cuándo igualara la poblacion la mitad de ese valor limite?
(10) Cuando si se tienen en cuanta la friccion y la contraccion del agua en el agujero, elmodelo del problema 9 se transforma en
dhdt = -c AhAw 2gh
Donde 0<c<1. ¿ Cuanto tardara el tanque del problema 9 (b) en vaciarse si c= 0.6? Vea el problema 11 en los ejercicios 1.3.
(11) Untanque en forma de un cono circular recto invertido (el vertice hacia abajo), tiene una fuga de agua en su vertice.
(a) suponga que el tanque mide 20 pies de altura y 8 pies de radio, asi como que...