Calculo

CALCULO DIFERENCIAL


TEMA 1 : PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS


Teorema del signo.-
Sea f:[a,b] -->R una función continua en (a,b) entonces si f(x0)(0, existe un entorno E(x0,() en que f tiene el mismo signo que f(x0).
Si x0=b (respectivamente x0=a) entonces existe ( un tal que f toma en (b-(,b) (respectivamente (a,a+() el mismo signo que f(x0).

Lema (de acotación).-
Seaf:[a,b]-->R una función continua en [a,b] y x0 ( (a,b) entonces existe (>0 tal que f es acotada en E(x0,().

Teorema de los ceros , de Bolzano.-
Sea f:[a,b]-->R una función continua en [a,b], tal que f toma valores de signos distintos en los extremos a y b del intervalo, es decir, sign f(a) ( sign f(b). Entonces existe c( (a,b) tal que f(c)=0.

Teorema de los valores intermedios, deDarboux.-
Sea f:[a,b]-->R una función continua en el intervalo cerrado [a,b] , entonces f toma todos los valores intermedios comprendidos entre f(a) y f(b).

Teorema de los extremos absolutos (del supremo y el ínfimo), de Weiestrass.-
Si f es una función continua en el intervalo [a,b], entonces f alcanza al menos una vez el máximo y el mínimo absolutos en dicho intervalo.



TEMA 2 :PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES


LEMA (de monotonía).-
Sea f : I-->R una función. Supongamos que f'(t0)>0 en un punto t0 interior. Entonces existe (>0 tal que f(s)R y g:[a,b]-->R continuas en [a,b] y derivables en (a,b). Entonces existe c ( (a,b) tal que
[ f(b) - f(a) ] g'(c) = [ g(b) - g(a) ] f'(c) .

Teorema del valor medio ( o de los incrementos finitos).-
Seaf:[a,b]-->R una función continua en [a,b] y derivable en (a,b). Entonces existe c((a,b) tal que f(b) - f(a) = (b - a) f'(c) .

Consecuencias del t.v.m.-
1.- T. del v.m. sobre monotonía.-
Sea f:[a,b]-->R una función continua en [a,b] y derivable en (a,b). Entonces
- si f'(t)(0 para todo t((a,b) entonces f es monótona creciente en [a,b].
- si f'(t)(0 para todo t((a,b) entonces f es monótonadecreciente en [a,b].
- si f'(t)=0 para todo t((a,b) entonces f es constante en [a,b].

2.- Si f y g son funciones continuas en [a,b] y derivables en (a,b) tales que f'(x) = g'(x) para todo x( (a,b), entonces existe un numero real "c" tal que f(x) = g(x) + c para todo x( [a,b] ; es decir, las dos funciones f y g se diferencian en una constante.


ESTUDIO LOCAL DE UNA FUNCION

Crecimiento ydecrecimiento de una función



Definición:
Sea f : [a, b] -->R , x0((a, b), se dice que f es creciente en x0 si existe un entorno de x0 , E (x0 , h) tal que
Si x0 - h < x < x0 f(x) < f(x0)
Si x0 < x < x0 + h f(x0) < f(x)
Se dice que f es decreciente si (-f) es creciente.


Proposición 1 (monotonía).-

Sea f : (a, b)-->R una función derivable y x0 ( (a, b) . Entonces :si f'(x0)>0 , f es creciente en x0.
si f'(x0)R una función , x0((a,b), f derivable en x0 y creciente (decreciente). Entonces f '(x0) (0 ( f'(x0) ( 0 ) .


Máximos y mínimos relativos. Condiciones para la determinación de extremos.-


Definición: Sea f : [a, b] -->R , x0((a, b), se dice que f tiene un máximo / mínimo relativo en, x0 si existe un entorno de x0 , E (x0 , h) tal que (x( E (x0 , h) se tiene que f(x) ( f(x0) / f(x) ( f(x0).


Condición necesaria.-

f derivable en x0((a, b) y presenta en x0 un máximo o mínimo, entonces f'(x0)=0.


Condición suficiente.-

Proposición 1.- f : [a, b] -->R continua en I, x0((a, b) y f derivable en el intervalo (x0-(,x0+() contenido en I salvo quizás x0.
a) si f ' (x)>0 , x( (x0-(,x0) (f creciente a laizquierda de x0)
f ' (x)R , x0((a, b) tal que f ' (x0)=0 y f '' (x0) ( 0.
Entonces : f''(x0)>0 entonces x0 es mínimo relativo.
f''(x0)R continua en [a, b], x0((a, b) tal que f '(x0)=0.
Supongamos que f admite derivadas sucesivas (finitas) en un intervalo centrado en x0 y supongamos que la primera derivada que no se anula en x0 es f n)(x0) , derivada n-esima de f.
En...