calculo

Integral definida. Aplicaciones
Área de una región entre dos
curvas
Volumen
Longitud de un arco
Superficies de revolución
Trabajo
Presión de un fluído

Construcción de una presa
La presa Hoover, una de las tres presas
de hormigón más grandes del mundo, se
apoya en las paredes del Cañón del
Colorado y en su propia estructura para
regular las aguas del río Colorado

Construcciónde una presa
Presa de arco para
cañones estrechos y
se curva hacia el
agua que contiene.
La fuerza del agua
presiona las paredes
contra el cañón

Construcción de una presa

Una sección de una presa de arco típica sigue
el modelo del esquema anterior y responde a
la función dada.

Construcción de una presa
Al girar dicha sección en torno al eje de
las ordenadas, se forma la presade
arco.
Los grados que se giran y la anchura de
la base dependen de las variaciones del
nivel del agua.

Construcción de una presa

Construcción de una presa
Calcular el área de la sección de la
presa
Planificar estrategia para estimar el
volumen de hormigón necesario para
construir la presa.

Área de una región entre dos
curvas
Si f y g son continuas en [ a, b] y g ( x ) ≤ f( x )
para todo x en [ a, b], entonces el área de la
región limmitada por las gráficas de f y de g
y de las rectas x = a y x = b es
b

A = ∫ [ f ( x ) − g ( x) ] dx
a

Área de una región entre dos
curvas

Si f y g son continuas en [ c, d] y
g ( y ) ≤ f ( y ) para todo y en [ c, d],
entonces el área de la región limitada
por las gráficas de f y de g
y las rectas y = c y y = d es
dA = ∫ [ f ( y ) − g ( y ) ] dy
c

Volumen
Los sólidos de revolución con todas sus
secciones similares se encuentran
comúnmente en ingeniería en ejes, embudos,
pilares, botellas, pistones

V = π R2w

Volumen. Método de los discos
Sólido de revolución:
se obtiene al girar
una región del plano
alrededor de un eje
de revolución, el
volumen del disco
viene dado por

Volumen.Método de los discos
Partiendo del volumen de un disco dado por

V = π R2w
Tomamos un disco representativo cuyo volumen es

ΔV = π R 2 Δx
Sumando todos los discos representativos y pasando al límite
obtenemos
n

b

lim ∑ π [ R ( xi ) ] Δx = π ∫ [ R ( x) ] dx
n →∞

i =1

2

2

a

Volumen. Método de los discos
EL MÉTODO DE LOS DISCOS
El volumen de un sólido de revoluciónsegún se escoja el eje de
revolución viene dado por
Eje horizontal de revolución
b

V = π ∫ [ R( x) ] dx
2

a

Eje vertical de revolución
d

V = π ∫ [ R ( y ) ] dy
2

c

Volumen. Método de las capas
Consideramos el rectángulo de
anchura w
altura h
distancia del centro del rectángulo
al eje de giro p
2

Vcapa

2

w⎞
w⎞
⎛
⎛
= π ⎜ p + ⎟ h −π ⎜ p − ⎟ h
2⎠
2⎠
⎝
⎝Vcapa = 2π phw

Volumen. Método de capas
Partiendo del volumen de la capa dado por

V = 2π phw
Tomamos una capa representativa cuyo volumen es

ΔV = 2π p ( y )h( y )Δy
Sumando todas las capas representativas y pasando al límite obtenemos
n

d

i =1

c

lim ∑ 2π p ( yi )h( yi )Δy = 2π ∫ p ( y )h( y )dy
n →∞

Volumen. Método de capas
EL MÉTODO DE CAPAS
El volumen de unsólido de revolución
según se escoja el eje de revolución viene
dado por
Eje horizontal de revolución
d

V = 2π ∫ p ( y ) h( y ) dy
c

Eje vertical de revolución
b

V = 2π ∫ p ( x)h( x) dx
a

Longitud de un arco
Dado un elemento
lineal sometido solo
a cargas verticales,
la catenaria es la
que minimiza las
tensiones como es el
caso de este arco en
forma de catenaria
invertida enla
Sagrada Familia

Longitud de un arco
Si un trozo de curva tiene una longitud de arco finita,
decimos que es rectificable.
Para aproximar la longitud del arco de curva s, es
posible diseñar una serie de triángulos rectángulos
cuyas hipotenusas concatenadas cubran el arco de
curva s.

Longitud de un arco
La condición suficiente para que una
función f sea rectificable un...