Calculo

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´tica Aplicada, FI-UPM. a

1. Conjuntos de n´ meros u 1.1. N´ meros reales u
Definiciones: • N´ meros racionales: Q = u
p q

1.1.1. RECTA REAL EINTERVALOS
: p, q ∈ Z y q = 0 = {expresiones decimales finitas o peri´dicas} o

• N´ meros irracionales: I = {expresiones decimales infinitas no peri´dicas} u o • Los n´ meros reales son los racionales ylos irracionales: R = Q ∪ I. u • La representaci´n gr´fica de los n´meros sobre una recta es la recta real. o a u Intervalos en la recta real: cerrado abierto semiabierto o semicerrado semiabierto osemicerrado infinito cerrado infinito abierto infinito cerrado infinito abierto recta real [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} (a, b) = {x ∈ R : a < x < b} [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b} (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}[a, +∞) = {x ∈ R : x ≥ a} (a, +∞) = {x ∈ R : x > a} (−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b} (−∞, b) = {x ∈ R : x < b} (−∞, +∞) = R
   r b r b r b r b b r -

a a a a

b b b b

a a

b b

r b -

Valorabsoluto: El valor absoluto de un n´mero real a, que se representa |a|, es dicho n´mero cuando es mayor o igual que u u cero, y su opuesto cuando es negativo: |a| = a si a ≥ 0 −a si a < 0 = max {a,−a} = √ a2 ¡ojo!: √ a2 = |a|

Geom´tricamente, sobre la recta real, la distancia de un n´mero al origen (cero) es su valor absoluto, y la e u distancia entre dos n´meros reales es el valor absoluto desu diferencia: u d(a, 0) = |a| Algunas propiedades importantes son las siguientes: 1. Si a ≥ 0: |x| = a ⇐⇒ x = ±a. 2. Si a ≥ 0: |x| < a ⇐⇒ −a < x < a ⇐⇒ x ∈ (−a, a) 3. Si a ≥ 0: |x| > a ⇐⇒ x > a o x <−a ⇐⇒ x ∈ (−∞, −a) ∪ (a, +∞) 4. Desigualdad triangular: |a ± b| ≤ |a| + |b| 5. |a ± b| ≥ ||a| − |b|| Ejercicios 1. Dos personas que andan a la misma velocidad parten en el mismo instante de un puntoP de una circunferencia de 1 km de di´metro. Mientras que una de ellas recorre sin parar la circunferencia en el a sentido contrario a las agujas del reloj, la otra recorre el di´metro P Q en uno...