calculo

C ÁLCULO

DIFERENCIAL E INTEGRAL

DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

R ESUMEN

DE RESULTADOS BÁSICOS

Francisco Javier Pérez González
Departamento de Análisis Matemático
Universidad de Granada

I

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C

Universidad de Granada
Dpto. de Análisis Matemático

Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral

´Indice general

1. Cálculo diferencial en Rn

1

1.1. Estructura euclídea y topología de

Rn

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1. Ejerciciospropuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Campos escalares. Continuidad y límite funcional . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.1. Curvas en

Rn

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3. Derivadas parciales. Vector gradiente . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3.1. Interpretación geométrica de las derivadas parciales . . . . . . . . . . .

7

1.3.2. Campos escalares diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4. Rectas tangentes y planos tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.1. Curvas en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4.2. Superficies en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.3. Curvas en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.4. Derivadas parciales de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5. Extremos relativos . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.1. Clasificación de formas cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.2. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.6. Funciones vectoriales. Matriz jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.6.1. Derivadas parciales de funciones compuestas . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6.2.Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
II

Índice general

III

1.7. Extremos condicionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.7.1. Teorema de los multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 30
1.7.2. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.7.3. Cálculo de extremos enconjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . 34
1.7.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.8. Derivación de funciones implícitamente definidas . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.8.1. Teorema de la función implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.8.2. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.Integrales múltiples

42

2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2. Integrales dobles y triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.1. Interpretaciones de las integrales dobles y triples . . . . . . . . . . . . 45
2.3. Cálculo de integrales dobles y triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46...