Calculo

MODULO 1: PRELIMINARES.

1.1. Los números reales. Conjuntos en R.

1

.- Axioma del supremo.

.- Profundizar.
·
·

Si un conjunto A, no tiene cotas superiores; el conjunto formado por las cotas
superiores de A es el conjunto vacío.
Si en un conjunto A, inf A = sup A, el conjunto solamente podrá tener un elemento.

1.2. Sucesiones.

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·

Si afirmamos que una sucesión tienelimite l, seremos capaces de encontrar u n
termino de la sucesión a partir del cual todos los términos siguientes distan del
limite menos que la cantidad ε dada.

.- Propiedad de la unicidad del límite.

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.- Pero no viceversa, NO TODA sucesión acotada es
convergente.
.- Funciones trigonometricas seno y coseno están acotadas, pero su límite no existe
cuando x tiende a infinito.

.-Propiedad del emparedado.

.- Operaciones con límites de sucesiones.

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.- Limites infinitos.

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.- Monotonía creciente y decreciente.

.- Al ser creciente se garantiza, que crece cuando x tiende a infinito, y al ser acotada,
que nunca superara esta cota.
.- Numero e.

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.- Subsucesiones.

.- Teorema de Bolzano-Weierstrass.

7

.- Profundizar.

1.3. Series.

8.- De la anterior definición deducimos, que lim s n , es un numero finito; ya que toda sucesión
n ®¥

convergente es acotada., por lo tanto si el anterior limite es infinito, no esta acotada.

.- Criterio de comparación.

.- Algunas series comparativas muy usadas.
·

¥

ån y
n =1

·

¥

1

ån
n =1

2

¥

1

ån

son series divergentes.

n =1

es una serieconvergente.

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.- Criterio del cociente.

.- Criterio de la raiz.

Estos tres criterios solo se pueden aplicar a series de términos no negativos.

Una serie de términos positivos convergente, es absolutamente convergente.

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.- Criterio de Leibnitz

1.4. Limite de funciones. Continuidad.
1.4.1. Limite de funciones.

.- Unicidad del límite.

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.- Propiedad delemparedado.

.- Operaciones con funciones.

.- Limites infinitos.

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.- Limite en el infinito.

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.- Limite infinito.

.- Asintotas verticales.

.- Asintotas oblicuas.

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.- Asintotas horizontales.

1.4.2 Continuidad.

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.- Teorema de Bolzano.

.- Teorema de los valores intermedios.

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1.4.2 Método de bisección.

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18

1.5. Sucesiones y series defunciones. Series de potencias.
1.5.1. Sucesiones de funciones. Convergencia puntual.

.- Diferencias entre las operaciones con sucesiones o con sucesiones de funciones.
·

Los valores en los que esta definida la x, son los numeros reales, en las sucesiones eran
los numeros naturales.

·

1¥ ¹ e h Þ 1¥ = 1

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.- Lo anterior quiere decir, que en la convergencia puntual, las funcionesson continuas, pero el
limite es discontinuo. Para cada x Î S , f (x ) es distinto.
.- Como resolver ejercicios de sucesiones de funciones.
Hallamos el limite de las sucesiones de funciones, para los puntos del intervalo, que
como ya sabemos para cada punto puede o tendrá un valor distinto.
Si queremos representar la grafica de las sucesiones de funciones, para cada valor n,
tendremos unasucesion. Con cada valor de x del intervalo, obtendremos un valor de y.
1.5.1. Series de potencias. Radio de convergencia.

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.- Proposición de convergencia.

.- Criterio de la raíz.

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.- Criterio del cociente.

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RESOLUCION INDETERMINACIONES

MODULO 2: FUNCIONES DERIVABLES.

2.1. Derivada de una función.

2.2. Método de Newton. Método del punto fijo.
.- VER APUNTESFOTOCOPIAS UNED.
2.3. Teoremas de Rolle y del valor medio.
.- Teorema de Rolle.

.- Teorema del valor medio.

1

.- Caracterización de las funciones constantes.

2.4. Regla de la cadena.
.- Regla de la cadena.

2

3

4

.- Regla de l’ Hopital.

5

6

.- Criterio de Stolz.

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2.5. Intervalos de crecimiento y decrecimiento.

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MODULO 3: PROPIEDADES Y...