calculo



INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE
ALVARADO.

CALCULO DIFERENCIAL

UNIDAD: 5

ALICACIONES DE LA DERIVADA


IMPARTE: RAFAEL ZAMUDIO
ELABORO: JUAN MANUEL GARCIA LARA




INDICE:
Contenido. N° de paginas.


UNIDAD 5. ALICACIONES DE LA DERIVADA 3
5.1 recta tangente y rectanormal a una curva en un punto 3
5.2 TEOREMA DE ROLLE, TEOREMA DE LAGRANGE O TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CALCULO DIFERENCIAL. 5
5.3.- FUNCION CRECIENTE Y DECRECIENTE, MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION, CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA MAXIMOS Y MINIMOS, CONCAVIDADESY PUNTOS DE INFLEXION, CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA MAXIMOS Y MINIMOS. 14
5.4.- ANALISIS DE LA VARIACION DE FUNSIONES. 24
5.5.- CALCULO DE APROXIMACIONES UTILIZANDO LA DIFERENCIAL34
5.6 PROBLEMAS DE OPTIMIZACION Y DE TASAS RELACIONADAS 36
Bibliografía 39






5. ALICACIONES DE LA DERIVADA.


A través del uso del concepto de derivada se logra conocer algunaspropiedades relevantes de las
funciones. El estudio de estas características facilita la representación gráfica y la interpretación analítica
de las mismas, lo que posibilita su mejor entendimiento. El objetivo de este capítulo es obtener
información de las funciones a partir de su derivada y conocer más acerca de su comportamiento.

5.1. Recta tangente y recta normal.
Idea intuitiva de rectatangente. Todo el mundo tiene una idea clara de lo que es la recta
Tangente a una circunferencias en uno de sus puntos, pero si tratamos de generalizar esa idea a otras curvas nos encontramos con cuestiones que esa idea no resuelve.
- Puede la recta tangente cortar a la curva en más de un punto?
- Puede atravesar la recta tangente a la curva por el punto de tangencia?

Definición.15 Se llamatangente a una curva en un punto P a la recta que pasa por P con la misma dirección que la curva.
En un punto de inflexión la tangente atraviesa la curva. Pudiéndose distinguir tres tipos de puntos de inflexión: De tangente vertical, horizontal y oblicua.
En un punto anguloso, de desvío brusco o de retroceso, la curva o bien no tiene tangente o la tangente es vertical ( ver gura de recta vertical).La tangente no puede ser oblicua, ya que este caso la correspondencia no sería función.










5.2 TEOREMA DE ROLLE, TEOREMA DE LAGRANGE O TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CALCULO DIFERENCIAL.


Teorema de Rolle.
 
El teorema de Rolle dice que:
Si f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), tal que f(a) = f(b), hay algún punto c  (a, b) en el que f'(c) = 0.La interpretación gráfica del teorema de Rolle nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela al eje de abscisas.
Ejemplos
1. ¿Es aplicable el teorema de Rolle a la función f(x) = |x − 1| en el intervalo [0, 2]?

La función es continua en [0, 2].
No es aplicable el teorema de Rolle porque la solución no es derivable en el punto x = 1.




2. Estudiar si la función f(x) = x −x3 satisface las condiciones del teorema de Rolle en los intervalos [−1, 0] y [0, 1]. en caso afirmativo determinar los valores de c.
f(x) es una función continua en los intervalos [−1, 0] y [0, 1] y derivable en los intervalos abiertos (−1, 0) y (0, 1) por ser una función poli nómica.
Además se cumple que:
f(−1) = f(0) = f(1) = 0
Por tanto es aplicable el teorema de Rolle.




3.¿Satisface...